R 用lm（）、nls（）和glm（）估计马尔萨斯增长模型中的人口增长率

我的问题是关于估计中国的人口增长率。作为一个玩具例子，考虑玩具数据集<代码> df>代码>：

structure(list(x= c(0L, 24L, 48L, 72L, 96L, 120L, 144L, 168L
), y = c(10000, 18744.0760659189, 35134.0387564953, 65855.509495469, 
123440.067934292, 231377.002294256, 433694.813090781, 812920.856596808
)), .Names = c("x", "y"), row.names = c(NA, -8L), class = "data.frame")

我试图通过指数模型来拟合此数据集：

y = 10000 * (e^(r * x))

并估算

r

。使用非线性回归时

nls（）

：

我还尝试了

lm（）

我怎样才能解决这个问题？如何将数据拟合到我拥有的指数模型

还可以考虑其他的方法来拟合人口增长模型吗？

glm（）

合理吗？

使用lm（）

请阅读

？公式

，了解公式的正确规格。现在，假设你已经读过了，我将继续

首先，在LHS和RHS上进行

log

变换后，您的模型将变为：

log(y) = log(10000) + r * x

该常数是一个已知值，不可估计。这种常数在

lm

中称为

offset

您应该使用

lm

，如下所示：

# "-1" in the formula will drop intercept
fit <- lm(log(y) ~ x - 1, data = df, offset = rep(log(10000), nrow(df)))

# Call:
#  lm(formula = log(y) ~ x - 1, data = df, offset = rep(log(10000), nrow(df)))

#  Coefficients:
#        x  
#  0.02618  

请注意我使用的

exp（fit$fitted）

，因为我们为

log（y）

安装了一个模型，现在我们要回到原始比例

备注

正如@BenBolker所说，更简单的规范是：

fit <- lm(log(y/10000) ~ x - 1, data = df)

---

使用

nls（）

使用

nls（）

的正确方法如下：

nls(y ~ 10000 * exp(r * x), data = df, start = list(r = 0.1))

因为非线性曲线拟合需要迭代，所以需要一个起始值，必须通过参数

start

提供

现在，如果您尝试此代码，您将获得：

Error in nls(y ~ 10000 * exp(r * x), data = df, start = list(r = 0.1)) : 
  number of iterations exceeded maximum of 50

问题在于你的数据是准确的，没有噪音。阅读

？nls

：

fit <- nls(y ~ (10000 * exp(r*x)), data=df)

Warning:

     *Do not use ‘nls’ on artificial "zero-residual" data.*

因此，对玩具数据集

df

使用

nls（）

让我们从
lm（）
返回检查已安装的型号：

残差基本上到处都是0，在这种情况下，
lm（）
非常适合


跟进

最后一件我还没有弄清楚的事情是为什么参数
r
没有在
lm
的公式规范中使用

实际上，
lm
和
nls
之间的公式有些不同。也许你可以这样认为：


lm（）
的公式称为模型公式，您可以从
公式
中读取该公式。它在R中非常重要。模型拟合例程使用它，如
lm
，
glm
，而许多函数都有公式方法，如
Model.matrix
，
aggregate
，
boxplot
，等等
nls（）
的公式更像是一个函数规范，实际上并没有广泛使用。许多其他执行非线性迭代的函数，如
optim
将不接受公式，而是直接接受函数。因此，只需将
nls（）
视为一个特例即可

那么，使用线性模型做这件事有意义吗？简单地说，我在这里试图建模的是马尔萨斯增长模型

严格地说，给出真实人口数据（当然有噪声），使用
nls（）
进行曲线拟合，或使用
glm（，family=poisson）
进行泊松响应glm比拟合线性模型有更好的基础。对数据的
glm（）
调用将是：

glm(y ~ x - 1, family = poisson(), data = df, offset = rep(log(10000), nrow(df)))

（您可能需要先了解GLM是什么。）但由于您的数据没有噪声，因此在使用它时会收到警告消息

然而，就计算复杂度而言，通过首先进行
log
变换来使用线性模型显然是一种成功。在统计建模中，变量转换非常常见，因此没有令人信服的理由拒绝使用线性模型估计人口增长率

作为一个完整的图片，我建议您尝试这三种方法来获取真实数据（或嘈杂的玩具数据）。估计和预测会有一些差异，但不太可能很大

“后续跟进”

哈哈，再次感谢@Ben。对于
glm（）
，我们还可以尝试：

glm(y ~ x - 1 + offset(log(10000)), family = gaussian(link="log"))

对于
offset
规范，我们可以在
lm
/
glm
中使用
offset
参数，或者像Ben一样使用
offset（）
函数。
对于线性模型，您甚至不需要偏移：
log（y）-log（10000）~x-1
应该可以工作（尽管偏移可能更清晰）谢谢你的帮助！但是，我无法输入
log（y）=log（10000）+r*x，因为它显示
找不到函数“logI实际上有点困惑，但现在读到关于截取的内容，我理解得更清楚了，有一点仍然存在问题，那就是为什么lm会得到13个。但是在这种情况下，我不能使用lm的拟合来绘制图！我正在使用
plot（df）
然后使用
行（x，fit）
fit
基本上是
lm（log（y）~x-1，data=df，offset=rep（log（10000），nrow（df））
。非常感谢。它现在为我清理了一切。最后一件我还没有弄清楚的事情是为什么参数
r
没有在
lm
中使用，我特别质疑这一点，因为在我所做的
r
是我的模型在生物信息学任务中的增长率，所以它非常重要。
glm（y~x-1+偏移量（log（10000）），family=gaussian（link=“log”））
是另一种可能性
lines(df$x, 10000 * exp(fit$fitted), col = 2, lwd = 2)

nls(y ~ 10000 * exp(r * x), data = df, start = list(r = 0.1))

Error in nls(y ~ 10000 * exp(r * x), data = df, start = list(r = 0.1)) : 
  number of iterations exceeded maximum of 50

Warning:

     *Do not use ‘nls’ on artificial "zero-residual" data.*

fit$residuals
#            1             2             3             4             5 
#-2.793991e-16 -1.145239e-16 -2.005405e-15 -5.498411e-16  3.094618e-15 
#            6             7             8 
# 1.410007e-15 -1.099682e-15 -1.007937e-15

glm(y ~ x - 1, family = poisson(), data = df, offset = rep(log(10000), nrow(df)))

glm(y ~ x - 1 + offset(log(10000)), family = gaussian(link="log"))