R 子矩阵的最大行列式

假设我们有一个平方矩阵

M

，例如

set.seed(1)
M <- matrix(rnorm(5*5), 5, 5)

> M
           [,1]       [,2]       [,3]        [,4]        [,5]
[1,] -0.6264538 -0.8204684  1.5117812 -0.04493361  0.91897737
[2,]  0.1836433  0.4874291  0.3898432 -0.01619026  0.78213630
[3,] -0.8356286  0.7383247 -0.6212406  0.94383621  0.07456498
[4,]  1.5952808  0.5757814 -2.2146999  0.82122120 -1.98935170
[5,]  0.3295078 -0.3053884  1.1249309  0.59390132  0.61982575

我可以用蛮力的方式，也就是说，迭代所有可能的子矩阵，但我相信一定有一些优化方法可以让它更容易

---

我更喜欢使用

CVXR

查看解决方案，但不确定这个优化问题是否可以用凸的方式表述。有人能帮忙吗？否则，也欢迎使用其他优化包

因为已经四天没有答案了，我想我会找到一个可行的通用解决方案。不幸的是，它属于蛮力类别，尽管对于5 x 5矩阵，它相当快，大约5毫秒完成：

max_det[1]3 4 5
#> 
#>$index$列
#> [1] 1 3 4
#> 
#> 
#>$submatrix
#>            [,1]       [,2]      [,3]
#> [1,] -0.8356286 -0.6212406 0.9438362
#> [2,]  1.5952808 -2.2146999 0.8212212
#> [3,]  0.3295078  1.1249309 0.5939013

当然，问题是这不能很好地扩展到更大的矩阵。尽管它仍然有效：

set.seed（1）
米最大深度（米）
#>$max_行列式
#> [1] 284.5647
#> 
#>美元指数
#>$index$行
#> [1]  1  3  4  5  6  8  9 10
#> 
#>$index$列
#> [1]  2  3  4  6  7  8  9 10
#> 
#> 
#>$submatrix
#>             [,1]        [,2]        [,3]       [,4]        [,5]         [,6]
#> [1,]  1.51178117  0.91897737  1.35867955  0.3981059  2.40161776  0.475509529
#> [2,] -0.62124058  0.07456498  0.38767161  0.3411197  0.68973936  0.610726353
#> [3,] -2.21469989 -1.98935170 -0.05380504 -1.1293631  0.02800216 -0.934097632
#> [4,]  1.12493092  0.61982575 -1.37705956  1.4330237 -0.74327321 -1.253633400
#> [5,] -0.04493361 -0.05612874 -0.41499456  1.9803999  0.18879230  0.291446236
#> [6,]  0.94383621 -1.47075238 -0.05931340 -1.0441346  1.46555486  0.001105352
#> [7,]  0.82122120 -0.47815006  1.10002537  0.5697196  0.15325334  0.074341324
#> [8,]  0.59390132  0.41794156  0.76317575 -0.1350546  2.17261167 -0.589520946
#>            [,7]       [,8]
#> [1,] -0.5686687 -0.5425200
#> [2,]  1.1780870  1.1604026
#> [3,] -1.5235668  0.7002136
#> [4,]  0.5939462  1.5868335
#> [5,]  0.3329504  0.5584864
#> [6,] -0.3041839 -0.5732654
#> [7,]  0.3700188 -1.2246126
#> [8,]  0.2670988 -0.4734006

我花了一秒钟的时间来找到一个10x10矩阵的解

我认为这个解决方案是O（n！）复杂的，所以对于任何比10 x 10矩阵稍大的问题，都可以忽略它。我觉得应该有一个O（n³）解，但我的数学不够好，无法解决这个问题

---

我想这至少为其他人提供了一个用更复杂的方法击败的基准…

我采用了艾伦·卡梅隆的解决方案，并将其与 一种启发式阈值接受（TA；一种 模拟退火）。本质上，它是从一个 随机子矩阵，然后增量更改此 子矩阵，例如通过交换行索引或 添加或删除列

解决方案将编码为列表，给出行和列索引。 因此，对于大小为5x5的矩阵，一个候选解决方案可能是

x
## [[1]]
## [1]  TRUE FALSE FALSE  TRUE FALSE
## 
## [[2]]
## [1]  TRUE FALSE  TRUE FALSE FALSE

这种解决方案通过邻域函数，

nb

进行更改。 例如：

nb(x)
## [[1]]
## [1]  TRUE FALSE FALSE  TRUE  TRUE
## 
## [[2]]
## [1]  TRUE FALSE  TRUE  TRUE FALSE
##                       ^^^^^

给出这样一个解，我们需要一个目标函数

OF <- function(x, M)
    -det(M[x[[1]], x[[2]], drop = FALSE])

本质上，

nb

掷硬币，然后重新排列行或列索引（即保持子矩阵的大小不变），或者添加或删除行和列

最后，我创建了一个助手函数来创建随机初始解

x0 <- function() {
    k <- sample(n, 1)
    x1 <- logical(n)
    x1[sample(n, k)] <- TRUE
    x2 <- sample(x1)
    list(x1, x2)
}

所以我们得到了相同的行/列。我进行了以下小实验，将

M

的大小从2增加到20。每次我将TA的解决方案与最佳解决方案进行比较时，我还记录TA和完整枚举所需的时间（以秒为单位）

set.seed(134345)
message(format(c("Size",
        "Optimum",
        "TA",
        "Time optimum",
        "Time TA"), width = 13, justify = "right"))
for (i in 2:20) {
    n <- i
    M <- matrix(rnorm(n*n), n, n)
    t.opt <- system.time(opt <- max_det(M)$max_determinant)
    t.ta <- system.time(ta <- -restartOpt(TAopt, 10, OF,
                                    list(x0 = x0,
                                         neighbour = nb,
                                         printBar = FALSE,
                                         printDetail = FALSE,
                                         q = 0.9,
                                         nI = 1000, drop0 = TRUE),
                                    M = M, best.only = TRUE)$OFvalue)

    message(format(i, width = 13),
            format(round(opt, 2),  width = 13),
            format(round(ta, 2),  width = 13),
            format(round(t.opt[[3]],1), width = 13),
            format(round(t.ta[[3]],1), width = 13))
}

---

因此，至少在16x16大小之前，这两种方法返回相同的结果。但是TA需要小于1秒的恒定时间（迭代次数固定为1000）。

Thomas，当你说最大行列式时，你是指行列式的最大绝对值，还是仅指最大值？i、 e.您希望从-2.2和-0.3中找出哪一个？我认为这将改变所需的方法。@AllanCameron它是最大值，而不是最大绝对值

x0 <- function() {
    k <- sample(n, 1)
    x1 <- logical(n)
    x1[sample(n, k)] <- TRUE
    x2 <- sample(x1)
    list(x1, x2)
}

n <- 5
M <- matrix(rnorm(n*n), n, n)
max_det(M)$indices
## $rows
## [1] 1 2 4
## 
## $columns
## [1] 2 3 5

library("NMOF")
restartOpt(TAopt, 10, OF,
           list(x0 = x0,
                neighbour = nb,
                printBar = FALSE,
                printDetail = FALSE,
                q = 0.9,
                nI = 1000, drop0 = TRUE),
           M = M, best.only = TRUE)$xbest
## [[1]]
## [1]  TRUE  TRUE FALSE  TRUE FALSE
## 
## [[2]]
## [1] FALSE  TRUE  TRUE FALSE  TRUE

set.seed(134345)
message(format(c("Size",
        "Optimum",
        "TA",
        "Time optimum",
        "Time TA"), width = 13, justify = "right"))
for (i in 2:20) {
    n <- i
    M <- matrix(rnorm(n*n), n, n)
    t.opt <- system.time(opt <- max_det(M)$max_determinant)
    t.ta <- system.time(ta <- -restartOpt(TAopt, 10, OF,
                                    list(x0 = x0,
                                         neighbour = nb,
                                         printBar = FALSE,
                                         printDetail = FALSE,
                                         q = 0.9,
                                         nI = 1000, drop0 = TRUE),
                                    M = M, best.only = TRUE)$OFvalue)

    message(format(i, width = 13),
            format(round(opt, 2),  width = 13),
            format(round(ta, 2),  width = 13),
            format(round(t.opt[[3]],1), width = 13),
            format(round(t.ta[[3]],1), width = 13))
}

     Size      Optimum           TA Time optimum      Time TA
        2           NA         1.22            0          0.7
        3         1.46         1.46            0          0.6
        4         2.33         2.33            0          0.7
        5        11.75        11.75            0          0.7
        6         9.33         9.33            0          0.7
        7          9.7          9.7            0          0.7
        8       126.38       126.38          0.1          0.7
        9         87.5         87.5          0.3          0.7
       10       198.63       198.63          1.3          0.7
       11      1019.23      1019.23          5.1          0.7
       12     34753.64     34753.64           20          0.7
       13     16122.22     16122.22         80.2          0.7
       14     168943.9     168943.9        325.3          0.7
       15     274669.6     274669.6       1320.8          0.7
       16      5210298      5210298       5215.4          0.7