如何求解R中b=0的线性方程组（带自由变量）_R_Math_Linear Algebra

如何求解R中b=0的线性方程组（带自由变量）

r math

如何求解R中b=0的线性方程组（带自由变量）,r,math,linear-algebra,R,Math,Linear Algebra,i、 e.如何找到非平凡的解决方案例如： > A = structure(c(1, -0.6, -0.4, -0.4, 0.9, -0.5, -0.6, -0.2, 0.8), .Dim = c(3L, 3L)) > A [,x1] [,x2] [,x3] [1,] 1.0 -0.4 -0.6 [2,] -0.6 0.9 -0.2 [3,] -0.4 -0.5 0.8 > b0 [,1] [1,] 0 [2,] 0 [3,] 0 &

i、 e.如何找到非平凡的解决方案

例如：

> A = structure(c(1, -0.6, -0.4, -0.4, 0.9, -0.5, -0.6, -0.2, 0.8), .Dim = c(3L, 3L))
> A
     [,x1] [,x2] [,x3]
[1,]  1.0 -0.4 -0.6
[2,] -0.6  0.9 -0.2
[3,] -0.4 -0.5  0.8
> b0
     [,1]
[1,]    0
[2,]    0
[3,]    0
> solve(A,b0)
 [,1]
[1,]    0
[2,]    0
[3,]    0

答案应该是：

x=x3*（0.94,0.85,1）

或者，如果你能向我推荐其他可以解决此类系统的开源工具

我从线性代数书上取这个例子。。矩阵简化为：

1 0 -0.94 0
0 1 -0.85 0
0 0  0    0

i、 e.x3是自由变量。所以参数化的解决方案是：

x = (x1,x2,x3) = (0.94 x3,0.85 x3, x3 ) = x3 * (0.94,0.85,1)

对不起，我之前没有强调，我知道零向量是平凡解，我在寻找非平凡解。谢谢

你是对的，我有一个打字错误（更正）：

对于任何3x3矩阵

，情况是

A%*%c（0,0,0）

是

c（0,0,0）

。所以零的返回值是正确的。这是一个解决办法

还有其他解决办法吗？允许x=0的非平凡解的矩阵称为“奇异矩阵”。方程的解称为“零空间”

零空间由与特征值0相关的特征向量跨越。这些由

eigen

给出：

> eigen(B)
$values
[1] 1.350000e+00+1.32288e-01i 1.350000e+00-1.32288e-01i 1.171856e-16+0.00000e+00i

$vectors
                 [,1]             [,2]         [,3]
[1,] -0.4724556-0.25i -0.4724556+0.25i 0.5823201+0i
[2,]  0.7559289+0.00i  0.7559289+0.00i 0.5259665+0i
[3,] -0.2834734+0.25i -0.2834734-0.25i 0.6198891+0i

注意，特征值是降序的，最后一个是（接近）零。因此，

eigen（B）$vectors[，3]

是这里的解决方案：

> eigen(B)$vectors[,3]
[1] 0.5823201+0i 0.5259665+0i 0.6198891+0i

此值的任意倍数都在

的空空间中

另一种方法是使用

MASS:：Null

：

> Null(t(B))
          [,1]
[1,] 0.5823201
[2,] 0.5259665
[3,] 0.6198891

矩阵被转置是因为需要“正确”的空空间。请参见

？Null

注:

>x x/x[3]
[,1]
[1,] 0.9393939
[2,] 0.8484848
[3,] 1.0000000