Random 多维空间中的随机单位向量

我正在研究一个数据挖掘算法，在这个算法中，我想从特征空间中的一个特定点选择一个随机方向

如果我从[-1,1]中为n个维度中的每一个选择一个随机数，然后将向量的长度规格化为1，我会在所有可能的方向上得到均匀分布吗

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我在这里只是从理论上讲，因为计算机生成的随机数实际上并不是随机的。

用你描述的算法，你不会得到均匀分布的角度集合。角度将偏向于n维超立方体的角

这可以通过消除距离原点大于1的任何点来修复。然后你处理的是一个球形而不是立方（n维）体积，你的角度集应该均匀分布在样本空间上

伪代码：

设n为维数，K为所需向量数：

vec_count=0
while vec_count < K
   generate n uniformly distributed values a[0..n-1] over [-1, 1]
   r_squared = sum over i=0,n-1 of a[i]^2
   if 0 < r_squared <= 1.0
      b[i] = a[i]/sqrt(r_squared)  ; normalize to length of 1
      add vector b[0..n-1] to output list
      vec_count = vec_count + 1
   else
      reject this sample
end while

vec\u计数=0
而向量u计数如果0
from random import gauss

def make_rand_vector(dims):
    vec = [gauss(0, 1) for i in range(dims)]
    mag = sum(x**2 for x in vec) ** .5
    return [x/mag for x in vec]

例如，如果需要7维随机向量，请选择7个随机值（从平均值为0、标准偏差为1的高斯分布中）。然后，使用毕达哥拉斯公式计算结果向量的大小（对每个值求平方，将平方相加，并取结果的平方根）。最后，将每个值除以幅值，得到一个归一化的随机向量

如果你的维度数量很大，那么这有一个很大的好处，那就是总是立即工作，同时生成随机向量，直到你找到一个恰好大小小于1的向量，这将导致你的计算机挂起十几个维度左右，因为它们中任何一个符合条件的概率都变得非常小。
从正态分布采样的算法有一个改进的实现：
我在开发ML算法时遇到了完全相同的问题。

#define SCL1 (M_SQRT2/2)
#define SCL2 (M_SQRT2*2)

// unitrand in [-1,1].
double u = SCL1 * unitrand();
double v = SCL1 * unitrand();
double w = SCL2 * sqrt(1.0 - u*u - v*v);

double x = w * u;
double y = w * v;
double z = 1.0 - 2.0 * (u*u + v*v);

我得到了与Jim Lewis相同的结论，在为二维情况绘制了样本并绘制了由此产生的角度分布图之后

此外，如果在从[-1,1]随机绘制x轴和y轴时，尝试推导2d方向的密度分布，您将看到：

f_X（X）=1/（4*cos²（X））
如果0
和

f_X（X）=1/（4*sin²（X））
如果X>45⁰

其中x是角度，f_x是概率密度分布

我在这里写过：
这正是我所担心的。我只是没能像你描述的那样在脑海中把它正式化。直觉上我知道我想要我可能的随机向量来描述一个圆。我只是不知道如何在代码中实现它。@Matt：我对我的答案进行了一些扩展，希望能有所帮助。如果你能用一个封闭形式的表达式来解决这个问题，为什么要使用一个具有非确定性运行时和分支的算法呢？太好了！谢谢你的补充建议。顺便说一下，boost就是这样实现的。；）这里有一个关于为什么这个方法是正确的参考，一个关于为什么这个方法有效的快速解释：一个点在给定点的概率P是P（x）*P（y）。高斯分布的形式大致为e^（-x^2），因此e^（-x^2）*e^（-y^2）是e^（-x^2+y^2）。这只是点到原点距离的函数，因此得到的分布是径向对称的。这很容易推广到更高的维度。附加说明：Box–Muller变换可用于从均匀分布变量的独立对生成正态分布变量的独立对（没有“浪费”）。对于像我这样的非机械类人来说，代码不再是很难读的。对它的作用，为什么它比公认的答案更好，或者其他什么有什么评论吗？