Recursion 生成具有给定数量的位集和位索引和的整数列表

我想以一种有效的方式生成一个整数列表（最好是有序的） 具有以下定义属性：

所有整数都具有相同的位数集

N

所有整数具有相同的位索引之和

K

确切地说，对于整数

I

其二进制表示形式为：

$I=\sum_{j=0}^M c_j 2^j$ where $c_j=0$ or $1$

位集的数量为：

$N(I)=\sum_{j=0}^M c_j$

位索引之和为：

$K(I)=\sum_{j=0}^M j c_j$

我有一种低效的方法生成列表，如下所示： 在使用递增的整数上进行do/for循环 “snoob”函数的最小值-具有相同位数集的下一个整数 并在每次增量时检查其是否具有正确的K值

这是非常低效的，因为通常从整数开始 使用正确的

N

和

K

值，来自

I

的snoob整数没有正确的

K

，必须进行多次snoob计算才能得到下一个整数

N

和

K

均等于所选值。 使用snoob可以得到一个有序列表，这对于二分法搜索很方便，但是 不是绝对强制的

通过递归可以轻松计算此列表中的元素数 当被视为分区numner计数时。下面是fortran 90中的一个递归函数：

=======================================================================
recursive function BoundedPartitionNumberQ(N, M, D)  result (res)
implicit none

  ! number of partitions of N into M distinct integers, bounded by D
  ! appropriate for Fermi counting rules

   integer(8) :: N, M, D, Nmin
   integer(8) :: res
    
    Nmin = M*(M+1)/2       ! the Fermi sea
    
    if(N < Nmin) then
        res = 0

    else if((N == Nmin) .and. (D >= M)) then
        res = 1

    else if(D < M) then
       res = 0

    else if(D == M)  then
       if(N == Nmin) then
              res = 1
       else 
              res = 0  
       endif

    else if(M == 0) then
       res = 0

     else

     res = BoundedPartitionNumberQ(N-M,M-1,D-1)+BoundedPartitionNumberQ(N-M,M,D-1)

     endif

    end function BoundedPartitionNumberQ
========================================================================================

---

自从您提到C/C++/Fortran以来，我一直试图相对地保留这一点，但在适用的情况下也包括了这一点

所有整数都具有相同的位数集

N

然后我们也可以说，所有有效整数都是N个集合位的置换。

首先，我们必须生成初始/min排列：

uint32_t firstPermutation(uint32_t n){
    // Fill the first n bits (on the right)
    return (1 << n) -1;
}

最后，我们需要一种方法来获得下一个排列

uint32_t nextPermutation(uint32_t n){
    uint32_t t = (n | (n - 1)) + 1;
    return t | ((((t & -t) / (n & -n)) >> 1) - 1);
}

// or with builtins:
uint32_t nextPermutation(uint32_t &p){
    uint32_t t = (p | (p - 1));
    return (t + 1) | (((~t & -~t) - 1) >> (__builtin_ctz(p) + 1));
}

---

所有整数具有相同的位索引之和

K

假设这些是整数（32位），您可以使用此Debrijn序列来快速识别第一组位的索引-fsb。 对于其他类型/比特数，存在类似的序列，例如，一个序列可以调整以供使用

通过剥离当前fsb，我们可以应用上述技术来识别下一个fsb的索引，等等

int sumIndices(uint32_t n){
    const int MultiplyDeBruijnBitPosition[32] = {
      0, 1, 28, 2, 29, 14, 24, 3, 30, 22, 20, 15, 25, 17, 4, 8,
      31, 27, 13, 23, 21, 19, 16, 7, 26, 12, 18, 6, 11, 5, 10, 9
    };

    int sum = 0;
    // Get fsb idx
    do sum += MultiplyDeBruijnBitPosition[((uint32_t)((n & -n) * 0x077CB531U)) >> 27];        
    // strip fsb
    while (n &= n-1);   

    return sum;
}

// or with builtin
int sumIndices(uint32_t n){
    int sum = 0;
    do sum += __builtin_ctz(n);
    while (n &= n-1);
    return sum;
}

---

最后，我们可以迭代每个置换，检查所有索引的总和是否与指定的K值匹配

p = firstPermutation(n);
lp = lastPermutation(n);

do {
    p = nextPermutation(p);
    if (sumIndices(p) == k){
        std::cout << "p:" << p << std::endl;
    }
} while(p != lp);

p=firstPermutation（n）；
lp=最后置换（n）；
做{
p=下一个术语（p）；
if（sum指数（p）=k）{
std:：cout基本递归实现可以是：

void listIntegersWithWeight(int currentBitCount, int currentWeight, uint32_t pattern, int index, int n, int k, std::vector<uint32_t> &res)
{
    if (currentBitCount > n ||
        currentWeight > k)
        return;

    if (index < 0)
    {
        if (currentBitCount == n && currentWeight == k)
            res.push_back(pattern);
    }
    else
    {
        listIntegersWithWeight(currentBitCount, currentWeight, pattern, index - 1, n, k, res);
        listIntegersWithWeight(currentBitCount + 1, currentWeight + index, pattern | (1u << index), index - 1, n, k, res);
    }
}

在我的电脑上，使用相同的参数，这只需要半秒钟。可能还可以进一步改进。
感谢您非常出色的实现。但是，它只比我在原始帖子中添加的解决方案快一点点。如果我看一看固定位数的最大列表，32位字、16位和s在8位31位的表中，该表的维数为8908546，由C++代码生成，其中G++-0和12+G++-O3，而我的F90实现用GoFrTRA-O0和15S用GFRTRAN -O3生成了70年代的同一个列表。我不清楚如何使用64位整数的DeBuijn技术。澄清了关于debrujin序列的部分-它们也适用于其他位计数。我已经链接了一个您可能会适应的序列。@harold同意，我已经更新了，在适用的情况下包含了内置替代项。您如何从main调用这样一个函数？抱歉，初始值对我来说不太清楚。而且我猜它在ui中也可以正常工作nt64或甚至uint128（编译器允许）？@Blaise例如
listIntegersWithWeight（0，0，0，31，n，k，res）
对于32位整数，31是最高位的索引。只要稍作修改，它就可以用于较大的类型，
1u递归解决方案非常有效。在最近的PC上，在n=15最高索引=42和k=15*21（最坏情况）的情况下，生成长度为15亿的列表只需32秒，使用g++-O3。解决了我遇到的瓶颈（当然还有其他的）@Blaise btw作为一个有用的变量，如果您切换两个递归调用的顺序，那么列表将以相反的顺序生成。
p = firstPermutation(n);
lp = lastPermutation(n);

do {
    p = nextPermutation(p);
    if (sumIndices(p) == k){
        std::cout << "p:" << p << std::endl;
    }
} while(p != lp);

void listIntegersWithWeight(int currentBitCount, int currentWeight, uint32_t pattern, int index, int n, int k, std::vector<uint32_t> &res)
{
    if (currentBitCount > n ||
        currentWeight > k)
        return;

    if (index < 0)
    {
        if (currentBitCount == n && currentWeight == k)
            res.push_back(pattern);
    }
    else
    {
        listIntegersWithWeight(currentBitCount, currentWeight, pattern, index - 1, n, k, res);
        listIntegersWithWeight(currentBitCount + 1, currentWeight + index, pattern | (1u << index), index - 1, n, k, res);
    }
}

void listIntegersWithWeight(int currentBitCount, int currentWeight, uint32_t pattern, int index, int n, int k, std::vector<uint32_t> &res)
{
    if (currentBitCount > n || 
        currentWeight > k ||
        currentBitCount + index + 1 < n ||
        currentWeight + (index * (index + 1) / 2) < k)
        return;

    if (index < 0)
    {
        if (currentBitCount == n && currentWeight == k)
            res.push_back(pattern);
    }
    else
    {
        listIntegersWithWeight(currentBitCount, currentWeight, pattern, index - 1, n, k, res);
        listIntegersWithWeight(currentBitCount + 1, currentWeight + index, pattern | (1u << index), index - 1, n, k, res);
    }
}