Recursion 求解递推T（n）=3T（n/2）和#x2B；N

我正在准备考试，我不知道如何获得由该关系生成的递归树的高度：

T（n）=3T（n/2）+n

我知道这棵树看起来像这样，我必须添加所有术语：

           c*n
          / | \
         /  |  \   
    c*n/2 c*n/2 c*n/2 
      .     .     .
      .     .     .

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谢谢

当您具有形式的递归关系时

T（n）=aT（n/b）+f（n）

那么递归树的高度只取决于b的选择（当然，假设a>0）。这是因为树中的每个节点表示展开上述循环时发生的情况，而在上述循环中，可以展开某些内容的唯一位置是T（n/b）项。如果增加或减少a，将增加或减少树的分支因子（例如，2T（n/b）表示展开节点时将生成两个节点，3T（n/b）表示展开节点时将生成三个节点），但树的分支因子与层数无关。它只是告诉你会有多少级别。类似地，更改f（n）只会增加或减少每个节点完成的总工作量，这不会影响递归树的形状

那么b对树的高度有什么具体的影响呢？在这个递推关系中，每次我们展开T，我们都会把输入的大小除以一个系数b。这意味着在树的顶层，我们将遇到大小为n的问题。下面是尺寸n/b的问题。下面是大小（n/b）/b=n/b2的问题。通常，在树的k级，问题大小将为n/bk。当问题大小降至0或1时，递归停止，当k=logb n时发生。换句话说，递归树的高度将是O（logbn）

现在，仅仅知道树的高度并不能告诉你所做的工作总量，因为我们还需要知道分支因子和每个级别所做的工作。有很多不同的方法可以相互作用，但幸运的是，有一个美丽的定理，叫做，让你只看a，b，和f（n），就可以非常优雅地读出解。在你的情况下，复发是

T（n）=3T（n/2）+O（n）

将此插入主定理，我们可以看到递推的解是T（n）=O（nlog23）。这大约是O（n1.58）