Recursion scheme-函数尾部是递归的吗？

我在scheme中实现了这个递归函数：

       (define f (lambda (n)

        (cond ((= n 0) 0)
              ((= n 1) 2)
              ((= n 2) 37)
              ((odd? n) (+ (f (- n 3)) 1))
              (else (+ (f (- (/ n 2) 1)) 7))))
        )

在很多练习中，我被问到我的解决方案是不是尾部递归，老实说，不管我读了多少遍尾部递归的定义，我都不明白。如果我定义tailrecursive，它应该是这样的

定义：不管输入值是多少，尾函数都是在一个恒定的内存空间中计算的

这里还有另外两个。其中一个是尾部递归的，我想知道是哪一个

(define ln2-a
 (lambda (n)
 (define loop
   (lambda (n)
     (if (= n 1)
         0
        (+ 1 (loop (quotient n 2))))))
 (trace loop)
 (loop n)))

在这里

(define ln2-b
  (lambda (n)
    (define loop
      (lambda (n result)
      (if (= n 1)
         result
       (loop (quotient n 2) (+ result 1)))))
 (trace loop)
 (loop n 0)))

让我们看一下最后两个函数。这里我假设ln2-b是递归的。但我真的无法回答为什么，这让我有点恼火。我认为跟踪循环对我有帮助，但我不太确定它说了什么以及它如何帮助我。我试图比较这三个函数，找出它们的相似之处，但也找出它们之间的不同之处。但是，不幸的是，我无法做到这一点

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希望友好的人能帮助我，谢谢。哦，我对计算机科学也很陌生，所以也许我用错了一些术语。如果有什么不清楚的地方，就说出来。：）

在第一个代码块中，f不是尾部递归的。必须执行对f的递归调用，返回其结果，然后根据分支将1或7添加到结果中。由于对f的递归调用必须返回，并且有任意多个对f的递归调用，这意味着必须分配任意多个堆栈帧

当你想到调用一个函数时，想象一下你拿了一张新的纸，把所有的局部变量和值都写在那张纸上可能会有所帮助。在确定函数的结果时，可能会对同一函数进行递归调用。如果调用是尾部调用，那么当你拿一张纸来调用时，你可以扔掉旧的表单，因为你不再需要它的任何值

例如，考虑两种计算列表长度的方法：

(define (length-1 list)
  (if (null? list)
      0
      (+ 1
         (length-1 (cdr list))))) ; recursive call, NOT a tail-call

在这个实现中，您必须完成对length-1的递归调用，获取其结果，然后向其中添加1。这意味着您需要在递归调用之后返回到某个地方。现在考虑一个尾部递归版本：

(define (length-2 list current-length)
  (if (null? list)
      current-length
      (length-2 (cdr list) ; recursive call, IS a tail-call
                (+ 1 current-length))))

---

在这个版本中，一旦开始递归调用length-2，就不再需要原始调用中的任何上下文。事实上，您可以通过将（cdr列表）分配给列表，并将（+1当前长度）分配给当前长度来将其转换为循环。可以重用相同的堆栈空间。这就是尾部调用优化（当尾部调用是对同一个函数时）等价于循环的方式。

在第一个代码块中，f不是尾部递归的。必须执行对f的递归调用，返回其结果，然后根据分支将1或7添加到结果中。由于对f的递归调用必须返回，并且有任意多个对f的递归调用，这意味着必须分配任意多个堆栈帧

当你想到调用一个函数时，想象一下你拿了一张新的纸，把所有的局部变量和值都写在那张纸上可能会有所帮助。在确定函数的结果时，可能会对同一函数进行递归调用。如果调用是尾部调用，那么当你拿一张纸来调用时，你可以扔掉旧的表单，因为你不再需要它的任何值

例如，考虑两种计算列表长度的方法：

(define (length-1 list)
  (if (null? list)
      0
      (+ 1
         (length-1 (cdr list))))) ; recursive call, NOT a tail-call

在这个实现中，您必须完成对length-1的递归调用，获取其结果，然后向其中添加1。这意味着您需要在递归调用之后返回到某个地方。现在考虑一个尾部递归版本：

(define (length-2 list current-length)
  (if (null? list)
      current-length
      (length-2 (cdr list) ; recursive call, IS a tail-call
                (+ 1 current-length))))

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在这个版本中，一旦开始递归调用length-2，就不再需要原始调用中的任何上下文。事实上，您可以通过将（cdr列表）分配给列表，并将（+1当前长度）分配给当前长度来将其转换为循环。可以重用相同的堆栈空间。这就是尾部调用优化（当尾部调用是对同一个函数时）等价于循环的方式。

尾部递归函数将累积的结果传递到每个调用中，这样，一旦达到结束条件，该函数的最后一次调用就可以立即返回结果

非尾部递归函数将要求在返回结果后对其执行某些操作。因此，必须记住递归的每一层，以便它能够返回计算最终结果

在第一个示例中，您将添加到下一次调用f的结果中，因此它不是尾部递归的

第二个示例还添加到循环的下一个调用中，因此它不是尾部递归的

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第三个示例将中的最终结果作为参数传递到下一个函数调用中，因此它是尾部递归的。

尾部递归函数将累积结果传递到每个调用中，这样一旦达到结束条件，该函数的最后一次调用就可以立即返回结果

非尾部递归函数将要求在返回结果后对其执行某些操作。因此，必须记住递归的每一层，以便它能够返回计算最终结果

在第一个示例中，您将添加到下一次调用f的结果中，因此它不是尾部递归的

第二个示例还添加到循环的下一个调用中，因此它不是尾部递归的

第三个示例将最终结果作为参数传递给下一个