Recursion nxn矩阵递归行列式算法的时间和空间复杂度

我试图找出下面算法的运行时和空间复杂性

有人说它的运行时复杂性是O（n！），我猜这是因为有n！递归调用求解n*n矩阵的递归算法。但我不确定我是否正确

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还有，空间复杂度也是n

写出一个明确的递归关系可能会有所帮助，该关系控制递归算法直接实现的运行时。注意，在处理n×n矩阵时，求和需要对大小为（n-1）×（n-1）的矩阵进行n次递归调用。每个递归调用需要大约（n-1）2个额外的时间来设置，因为我们需要从原始矩阵中提取一个大小相同的子矩阵，所以该算法每次调用的总开销将是Θ（n3），因为我们线性地做了很多次二次工作。这意味着我们所做的工作大体上是

T（n）=nT（n-1）+n3

完全忽略此处的立方项，请注意，展开递归将产生以下效果：

T（n）=nT（n-1）+

=n（n-1）T（n-2）+

=n（n-1）（n-2）T（n-3）+

最终我们会得到一个n！术语出现了，加上一堆来自立方体的额外术语。这里所做的功至少是Ω（n！），如果我们把三次项考虑进去，可能会更多

至于空间复杂性——在处理空间复杂性时，请记住，一旦递归的一个分支终止，我们就可以重用该分支使用的空间。这意味着我们只需要查看任何一个分支，就可以看到需要多少空间

在这种求和的简单实现中，我们显式地计算递归调用的子矩阵，我们需要空间来存储一个大小为n×n的矩阵，一个大小为（n-1）×（n-1），一个大小为（n-2）×（n-2）的矩阵，等等，这些矩阵的空间使用总计为Θ（n3）

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还有一系列其他的算法，你可以用更少的时间和空间来计算行列式。例如，有些问题基于高斯消去法并在时间O（n3）内运行。

这个问题可能更适合或甚至更适合（因为它涉及的是算法和复杂性，而不是编程）。谢谢您的回答！抱歉，我仍然不太明白为什么空间复杂度是Θ（n3），您说过系统在任何给定时间只需要足够的存储空间来存储一个分支。一个分支应该有n个级别（n，n-1，n-2，…1）。那么这是否意味着每个递归调用也需要一个矩阵的nn存储空间呢。那么所需的总空间是n个级别乘以nn每个级别所需的空间量=n^3？您只需要递归的一个分支的存储空间。这将有n个层，每个层需要大约n^2的空间来存储与该层关联的矩阵。因此，是的，您需要根据创建的新矩阵所需的空间来缩放所有内容。谢谢！对于运行时的复杂性，你知道它的大O可能是什么吗？我的意思是，它是超指数的，所以实际的答案是“不要这样计算，因为它至少是n个运算。”如果你对理论答案感兴趣，我们可以一起解出一个，但我怀疑它是否有用。（顺便说一句，我是以数学和理论的狂热爱好者的身份说这番话的！）