Scheme SICP Ex.1.17-“文件”；“快速乘法”；慢于；乘“；？

以下函数作为本练习的介绍，说明了用加法定义的乘法。这是最简单的“易于写下来”递归定义

（定义（星号a和b）
（如果（=b 0）
0
（+a（星a（-B1(()))））

在前面的练习之后，我看到的第一件事是编写一个不会破坏堆栈的迭代形式：

（定义（星号a和b）
（国际热核实验堆star a b 0））
（定义（star iter a计数器和）
（如果（=计数器0）
总和
（国际热核实验堆a（计数器1）（+a总和）））

练习1.17鼓励我们找到一个不变量，以减少问题的规模，其思想是从O（n）到O（logn）步数（在执行该特定步骤时，不做任何事情来更新结果-我们在该步骤中所做的只是减少/转换问题定义-这就是“查找不变量”的含义）（参见下面第一个代码块的第3行-在该步骤中没有向结果添加任何内容）

对于快速版本，问题是我们应该使用函数

halve

和

double

，这似乎意味着这些函数可以作为机器操作（恒定时间？）使用。我已经实现了“快速”版本，只需对这些函数进行如下欺骗：

（定义（快星a b）
（条件（（或（=B0）（=A0））0）
（（偶数？a）（快星（/a2）（*2b）））
（其他（+a（快星a（-B1()()))））

迭代形式（即O（1）空间）中的相同内容：

（注意上面第4行的

+a

如何移动到下面第6行末尾的累加器，以使其处于尾部位置）

（定义（快星b）
（快星iter a b 0）
（定义（快速星iter a b和）
（cond（（或（=a0）（=b0））和）
（（偶数a）（快星iter（/A2）（*2B）和））
（其他（快星国际热核实验堆a（-B1）（+a总和(()))））

所以这是一个“有什么意义”的问题-这些函数比上面给出的前两个慢。这四个函数中的第一个会破坏堆栈，所以它没有用处。但第二个没有。这一个比我测试的这两个“快速”版本中的任何一个都快

我在这里遗漏了什么吗？奇怪的是，是否有一种方法可以实现

减半

和

加倍

，所以他们实际上给出了这里建议的log（n）结果。否则，这个问题肯定没有意义

---

请注意，如果a&b的大小不同，那么它们的顺序非常重要-比如乘以2100倍或100，2倍，第一个是100步，后两个是2步。这将是以后添加到这个函数中的一些内容。但是好奇的是

halve

和

double

。

我认为主要的问题是

b

既递减又加倍，即，

b

应减半，而不是

a

。目前2*100将变为1*200，需要200次递减而不是100次。而if应变为4*50，然后8*25

此外，如果我们减少奇数，结果将是偶数，因此下一步将把

b

的值减半。也就是说，至少有一半的迭代将

b

的值减半

---

例如，如果

b

<1048576（2^20），则步数应小于40。通常迭代次数小于（*2（log b2））。

您的代码中有一个细微的错误，这就是它速度慢的原因。对于版本3和版本4，这应该可以修复它：

(define (fast-star a b)
  (cond ((or (= b 0) (= a 0)) 0)
        ((even? b) (fast-star (* 2 a) (/ b 2.0)))
        (else (+ a (fast-star a (- b 1))))))

(define (fast-star-iter a b sum)
  (cond ((or (= a 0) (= b 0)) sum)
        ((even? b) (fast-star-iter (* 2 a) (/ b 2.0) sum))
        (else (fast-star-iter a (- b 1) (+ a sum)))))

我们的想法是在每次迭代中不断增加

a

和减少

b

，但根据具体情况，有时会减少

b

，有时会增加一倍！还要注意，我将

b

除以

2.0

，以摆脱精确的算法，这会更慢

---

当然，你可以用另一种方法来做事情：增加

b

和减少

a

——重要的是保持一致，将一个参数的问题减半，将另一个参数翻倍，我们需要在最终结果中增加一个g公式

a*n = a+a*(n-1)

a*n = a*(n/2)+a*(n/2)

你应该使用这个公式

a*n = a+a*(n-1)

a*n = a*(n/2)+a*(n/2)

---

注意

n

为

偶数

且n为

奇数

时的情况。应用此选项将使您获得

O（logn）

复杂性，而不是

O（n）

除了答案中指出的问题外，请注意，

halve

和

double

对于fixnum->fixnum的情况都是单位移位。我希望几乎所有CPU都有这样的操作。

（快星（/a2）（*2b））

应该是

（*2（快星（/a2）b））

。这就是答案。除以2和除以2.0之间有什么区别？这一区别背后的算法会发生什么情况？@salvarico当我们除以

2

时，我们在进行整数除法，Scheme会将值表示为分数，一个精确的值，计算起来会比较慢。当我们除以

2.0

时，我们正在进行浮点除法，Scheme将把值表示为十进制数，这是一个不精确的值，计算起来会更快。哦，我理解这一点。但是，由于我们只在b为偶数时除以2，因此它总是得到一个整数。然而，我仍然想知道进行整数除法和do除法会有什么不同使用十进制数进行除法（但由于它是整数，所以也是精确的）。在内存和时间方面有差异吗？是的，会有差异。当你用

2.0

除法时，结果不再是整数！即使它是精确运算。例如：

（/10 2.0）

将返回

5.0

，而不是

5

。浮点值是一种不同的数据类型，没有rational的开销，这是进行除法下注时得到的结果