如何确定SML中递归函数的变量？

我在理解SML中的变量以及如何确定递归函数的变量时遇到了一些困难。我得到了解释：

（递归）函数的变量是函数参数上的任何表达式，它接受某个集合中的值，从而

• A是（完全）有序的；此外，A中没有无限的下降链v0>v1>…和
• 对于任何递归调用，变量都会严格减小。”

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但这对我帮助不大。一个更具体的例子会更好

假设递归函数生成一个长度为

n

的列表，其中所有元素均为零

这可能看起来像这样：

fun foo 0 = []
  | foo n = 0::(foo (n - 1))

在这种情况下，变量是函数的参数

n

。

n

是一个自然数，自然数是完全有序的，没有无限的降序链，因为没有链可以低于零。
此外，

n

随着每次递归调用而严格减少

另一个例子：假设函数接受两个参数，

x

和

y

，如果

x>y

则返回true，否则返回false

fun bar 0 y = false
  | bar x 0 = true
  | bar x y = bar (x - 1) (y - 1)

在这种情况下，变体有几个选项。您可以将其视为

x

或

y

，如前一示例所示，也可以将其视为

x+y

。在任何一种情况下，它都采用自然数值并严格减小

现在，举个例子，参数是非整数——查找列表的和

fun sum [] = 0
  | sum (x::xs) = x + (sum xs)

在这种情况下，变量可以被视为列表的长度（同样是一个自然数），也可以被视为列表本身，其中列表的顺序如下：

l1

iff有一些有限的元素序列

x1，x2，…，xn

，这样

x1:：x2:：：：：xn:：l1=l2

在这种比较下，很容易证明列表集是部分有序的，没有无限的降序链，尤其是从某个列表开始的递归调用生成的列表集是完全有序的

此外，在任何递归调用中，根据定义，

xs<（x:：xs）

，因此列表在减少

一个变量的要点是，它是一个可以用来证明函数行为的量。因为没有无限递减链，所以必须有一个最小元素，它可以作为归纳的基本情况，总的顺序给出了一种归纳的方式，从一个元素到比它大的元素

这也可以通过没有无限递减链的偏序来实现，这可以保证存在最小元素（如果不一定是最小元素的话）。然后可以将这些作为基本情况使用，并进行类似的归纳论证，尽管可能采用多种方法构造更大的元素