Theory 你怎么知道一个有限自动机需要多少状态？

我已经附上了一张关于我的问题的图片。所以对于这个问题，它说制作一个接受以aa或bb开头/结尾的字符串的FA。我的问题是，你如何知道何时停止添加状态？比如说，为什么5个州不够，而不是9个州

---

给出语言的正式描述，我们可以从算法上将其转换为有限状态自动机，并且必须有一种算法可以找到最小的自动机（如果没有其他方法，则通过枚举，因为可能性是有限的）。然而，给定一个自然语言描述，我们还没有算法将其转换为自动机或其他形式描述

然而，在这种情况下，我们可以推理：

• 看到“a”和“b”后的状态必须是不同的，因为它们的后果取决于下一个字符是“a”还是“b”。（“a”后接“a”表示接受，而“b”后接“a”表示尚未接受，而“a”后接“a”表示接受，而“a”后接“a”表示尚未接受，依此类推。）
• “aa”和“bb”达到的两个状态是相同的，可以合并，将自动机减少到八个状态
• 否则，在最初看到“ab”或“ba”之后，我们必须有以下不同的状态：
  • 最后看到的字符是“aa”。（如果该状态是结束状态，则必须接受该状态；如果接收到“a”，则该状态必须导致自身[或同构状态]；如果接收到“b”，则该状态必须导致不同的状态。）
  • 最后看到的字符是“bb”。（与上述类似，但交换接收到“a”或“b”时发生的情况。）
  • 最后看到的字符是“ab”。（如果收到“b”，则此状态必须导致“bb”-上次看到的状态，但如果收到“a”，则不会。）
  • 最后看到的字符是“巴”。（与上面类似，但已交换。）
• 这四个国家也必须与最初的四个国家不同：
  • 无论收到其他什么，初始“a”状态和初始“b”状态都必须导致接受，而后四个状态中没有一个可以这样做
  • 最初的“”状态不能导致在收到一封信后接受，而如果收到适当的信，后面的四个状态都会接受
  • 开始时看到“aa”或“bb”的状态只能导致接受，而后面四个状态中的任何一个都不能导致无条件接受

---

因此，我们必须有八种状态。

“必须有一种算法可以找到最小的自动机（如果没有其他方法，则通过枚举，因为可能性是有限的）”有一种算法可以检查两个DFA是否识别同一种语言，但它使用一种算法将DFA最小化为一个子例程，因此，除非您有另一种方法可以检查两个DFA是否识别同一种语言，否则您将无法使用前者作为子例程来构造后者h并不是从最小化它们开始的。在其他情况下，通过穷举搜索无法找到具有特定行为的最小程序，因为无法确定两个程序是否具有相同的行为。因此引用的句子并不完全错误，但它可能会误导人，因为它没有明确说明它依赖于eq对于DFA来说，单价问题是可判定的。除了@kaya3的优点外，“因为可能性是有限的”也是错误的，因为任何给定的无限语言都有无限可能通过扩展循环来接受DFA。在OP的示例中，终端、自循环接受状态（表示以“aa”和“bb”开头的字符串）可以无限扩展为任意长的接受状态链（或循环！）。这适用于任何具有最小DFA特征的语言（即无限规则语言）@Welbog:语言中存在无限多个DFA是不相关的。我们正在考虑的可能性只是那些比我们开始考虑的更小的可能性，其中有一个有限的数字。@kaya3:有许多算法在不最小化DFA的情况下测试等价性。（对一些算法的调查）。最小化不是答案的重点，因此我认为它不值得修饰。至于排除其他上下文，我认为上下文已经足够确定，因为标题询问了有限自动机，问题被标记为有限自动机，答案提到了有限状态自动机。你试过构建DFA吗对于这种有五种状态的语言，如果你认为这是可能的，那么首先要做的就是尝试一下。