Time complexity 理解时间复杂性：迭代算法

我对时间的复杂性很陌生，我似乎无法理解在最后实现这一点背后的逻辑：

100 (n(n+1) / 2)

对于此功能：

function a() {
    int i,j,k,n;
        for(i=1; i<=n; i++) {
            for(j=1; j<=i; j++) {
                for(k=1; k<=100; k++) {
                    print("hello");
                }
            }
        }
}

如果我使用上面的算法来模拟结束方程，我将得到以下结果：

结束方程：

100 (n(n+1) / 2)

模拟

   i = 1, 2, 3, 4... n
   j = 1, 2, 3, 4... n
   k = 100, 300, 600, 10000

我通常在youtube上研究这些，得到大O，ω&θ的概念，但说到这个，我不知道它们如何以我给出的等式结束。请提供帮助，如果您有一些最佳实践，请分享

编辑： 至于我自己对答案的假设，它认为应该是这样的：

100 ((n+n)/2) or 100 (2n / 2)

资料来源：

https://www.youtube.com/watch?v=FEnwM-iDb2g
At around: 15:21

---

我想你的

I

和

j

是正确的，只是不清楚为什么你说

k=100200300…

在每个循环中，

k

从

1

运行到

100

让我们先考虑一下内部循环：

        k from 1 to 100:
            // Do something

内部循环是O（100）=O（1），因为它的运行时间不依赖于

n

。现在我们分析外部循环：

i from 1 to n:
    j from 1 to i:
        // Do inner stuff

现在，让我们计算一下内部填充执行了多少次：

i = 1     1 time
i = 2     2 times
i = 3     3 times
 ...        ...
i = n     n times

这是我们的经典

1+2+3+。。。n=n（n+1）/2

。因此，外部两个循环的时间复杂度为O（n（n+1）/2），这将降低为O（n^2）

整个事情的时间复杂度是O（1*n^2）=O（n^2），因为嵌套循环使复杂度成倍增加（假设内部循环的运行时间独立于外部循环中的变量）。这里要注意的是，如果我们没有在不同的阶段进行缩减，我们将得到O（100（n）（n+1）/2），这相当于O（n^2），因为big-O符号的性质

一些提示： 您要求提供一些最佳实践。以下是我在分析您发布的示例时使用的一些“规则”

• 在时间复杂度分析中，我们可以忽略常数的乘法。这就是为什么即使内部循环执行了100次，它仍然O（1）。理解这一点是时间复杂性的基础。我们正在大规模地分析运行时，而不是计算时钟周期的数量
• 对于运行时彼此独立的嵌套循环，只需增加复杂性。将O（1）循环嵌套在外部O（N^2）循环中会产生O（N^2）代码

• 还有一些简化规则：

如果您可以将代码分成更小的部分（与我们分析

k

循环与外部循环的方法相同），那么您可以利用嵌套规则来找到组合的复杂性

关于ω/θ的注释：

---

θ是时间复杂度的“精确界”，而Big-O和Omega分别是上界和下界。因为没有随机数据（就像排序算法中的随机数据），我们可以得到时间复杂度的精确界，上界等于下界。因此，在这种情况下，如果我们使用O、ω或θ，没有任何区别。

一般来说，如果可以的话，您会希望减少时间复杂性。O（100（2n/2））与O（n）相同，因为大O不关心常数的乘法。谢谢你的详细介绍，先生：）我非常感谢，因为我对这门学科不熟悉。我目前正在阅读你在答案中添加的所有链接，因为这将有助于我进一步了解时间的复杂性

i = 1     1 time
i = 2     2 times
i = 3     3 times
 ...        ...
i = n     n times