Time complexity 二项系数函数的增长是阶乘还是多项式

我写了一个算法，给定一个单词列表，必须检查该单词列表中四个单词的每个唯一组合（无论顺序如何）

要检查的组合数量，

x

，可以使用二项式系数计算，即

x=n/（r！（n-r）！

其中

n

是列表中的总字数，

r

是每个组合中的字数，在我的例子中总是4，因此函数是

x=n/（4！（n-4）！=n/（24（n-4）！）

。因此，随着总字数的增加，

n

增加了要检查的组合数，

x

，因此，按因数增加对吗

让我吃惊的是，WolframAlpha能够将这个函数重写为

x=（n^4）/24− （n^3）/4+（11.n^2）/24− n/4

，那么现在它似乎随着

n

的增长而呈多项式增长？到底是哪一个

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对于r的固定值，此函数为O（n^r）。在你的例子中，r=4，它是O（n^4）。这是因为分子中的大部分术语都被分母抵消了：

n!/(4!(n-4)!) 
   = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)...(3)(2)(1) 
     -------------------------------------------
     4!(n-4)(n-5)(n-6)...(3)(2)(1)

   = n(n-1)(n-2)(n-3)
     ----------------
           4!

这是n中的一个四次多项式