Tree 与'；N'；没有节点，可能有多少不同的二进制和二进制搜索树？ < 2>强>二叉树：< /强>不需要考虑树节点值，我只对具有n个节点的不同树拓扑感兴趣。 二叉搜索树：我们必须考虑树节点值。 < P> Eric Lippert最近有一系列很深的博客文章关于这个：“和”（再加上一些之后）。

在回答你的具体问题时，他说：

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具有n个节点的二叉树的数目由给出，具有许多有趣的性质。第n个加泰罗尼亚数由公式（2n）！/（n+1）！N它呈指数增长

我的同事尼克·帕兰特（Nick Parlante，他还是斯坦福大学的时候）推荐我。结构不同的二叉树的计数（问题12）有一个简单的递归解决方案（封闭形式的结果是@codeka的答案已经提到的加泰罗尼亚公式）

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我不确定结构上不同的二叉搜索树（简称BST）的数量与“普通”二叉树的数量会有什么不同——除了，如果“考虑树节点值”的意思是每个节点可能是与BST条件兼容的任何数字，那么不同的二叉搜索树（但不是所有结构上都不同！）BSTs是无限的。我怀疑你的意思，所以，请举例说明你的意思

具有n个节点的不同二叉树：

(2n)!/n!*(n+1)!

(1/(n+1))*(2nCn)

式中C=组合，例如

n=6,
possible binary trees=(1/7)*(12C6)=132

二叉树的总数=

求和i给出了具有n个节点的二叉搜索树的总数。

基本情况是t（0）=1和t（1）=1，即存在一个空BST，并且存在一个BST和一个节点。

所以，一般来说，您可以使用上面的公式计算二叉搜索树的总数。 在谷歌采访中，我被问到一个关于这个公式的问题。 问题是有6个顶点的二叉搜索树的总数是多少。 所以答案是t（6）=132

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我想我给了你一些想法…

二叉树的数量可以用

二进制搜索树的数量可以看作是一个递归解决方案。 i、 例如，二叉搜索树的数量=（左二叉搜索子树的数量）*（右二叉搜索子树的数量）*（选择根的方法）

在BST中，只有元素之间的相对顺序才重要。因此，在不损失一般性的情况下，我们可以假设树中的不同元素是1，2，3，4，…，n。同样，对于n个元素，让BST的数量用f（n）表示

现在我们有了选择根的多种情况

选择1作为根，左子树上不能插入任何元素。n-1个元素将插入到右子树上

选择2作为根，可以在左子树上插入1个元素。n-2个元素可以插入到右子树上

选择3作为根，可以在左子树上插入2个元素。n-3个元素可以插入到右子树上

。。。。。。类似地，对于作为根的第i个元素，i-1元素可以位于左侧，n-i可以位于右侧

这些子树本身就是BST，因此，我们可以将公式总结为：

f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+f（n-1）f（0）

基本情况， f（0）=1，因为只有一种方法可以生成具有0个节点的BST。 f（1）=1，因为只有一种方法可以使用1个节点生成BST

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如果给定的节点数为N，则

不同数量的BST=加泰罗尼亚（N）
结构上不同的二叉树的不同数量=加泰罗尼亚（N）

不同数量的二叉树是=N*加泰罗尼亚（N）

二叉树：

不需要考虑值，我们需要看结构。 由（2次幂n）-n给出

对于三个节点，它是（2次方3）-3=8-3=5个不同的结构

二叉搜索树：

我们需要考虑节点值。我们称之为加泰罗尼亚号码

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由2n C n/n+1给出，对于未标记的节点，正确答案应为2nCn/（n+1），如果节点已标记，则（2nCn）*n/（n+1）

• 具有n个不同键的可能的二进制搜索树的总数=

  2nCn/（n+1）

  
  

  For n = 1  --> 1 Binary Search Tree is possible.
  For n = 2  --> 2 Binary Search Trees are possible.
  For n = 3  --> 5 Binary Search Trees are possible.
  For n = 4  --> 14 Binary Search Trees are possible.
  For n = 5  --> 42 Binary Search Trees are possible.
  For n = 6  --> 132 Binary Search Trees are possible.```
  
  

• 以及具有n个不同键的可能二叉树的总数=

  （2nCn/（n+1））*n
  
  For n = 1  --> 1 Binary Search Tree is possible.
  For n = 2  --> 2 Binary Search Trees are possible.
  For n = 3  --> 5 Binary Search Trees are possible.
  For n = 4  --> 14 Binary Search Trees are possible.
  For n = 5  --> 42 Binary Search Trees are possible.
  For n = 6  --> 132 Binary Search Trees are possible.```
  
  
  对于n=4-->可以使用336个二进制搜索树。
  
  

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请注意，1和2实际上是表示相同公式的不同方式，而不是表示不同数量的公式，以防不清楚。@Black_Rider-我尝试了上述公式来计算100个唯一节点的可能树数。但它正在失败。我用DP来解决这个问题。你可以找到代码。答案是错误的。预期答案是25666077，但实际输出是7159379471982673992。你能帮我吗？如果有些树有相同的钥匙怎么办？例如，对于树1、1、2、2，不可能将类似的关键帧压缩到一个顶点。此处提供的解决方案#12与catalan数计算提供的解决方案不匹配。那就是countTrees（4）应该是5而不是14，对吗？但它返回14。（这是系列1、1、2、5、14、42、132）countTrees（4）是系列中的第五个元素，因为系列从0开始，这就是它返回的内容：14I建议印度理工学院Ropar提供这本关于加泰罗尼亚数字的图形教程。第n个加泰罗尼亚数字公式

（2n）！/（n+1）！n呈指数增长。我们如何为
n>11
编写算法来解决这个问题？