Types 在Coq中，如何构造“sig”类型的元素

使用a型的简单归纳定义：

和子类型定义：

(* filter that test ID of *A* is 0 *)
Function filter (a: A) : bool := if (beq_nat (getId a) 0) then true else false.

(* cast bool to Prop *)
Definition IstrueB (b : bool) : Prop := if b then True else False.

(* subtype of *A* that only interests those who pass the filter *)
Definition subsetA : Set := {a : A | IstrueB (filter a) }.

当过滤器通过时，我尝试使用此代码将A的元素强制转换为子集，但未能确认它是“sig”类型元素的有效构造：

Definition cast (a: A) : option subsetA :=
match (filter a) with
 | true => Some (exist _ a (IstrueB (filter a)))
 | false => None
end.

错误：

In environment
a : A
The term "IstrueB (filter a)" has type "Prop"
while it is expected to have type "?P a"
(unable to find a well-typed instantiation for "?P": cannot ensure that
"A -> Type" is a subtype of "?X114@{__:=a} -> Prop").

所以，Coq期望有一个类型为IstrueB filter a的实际证明，但我提供的是类型Prop

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你能解释一下如何提供这样的类型吗？多谢各位

首先，有一个标准包装器。您可以这样明确地使用它：

Definition subsetA : Set := {a : A | is_true (filter a) }.

或者隐式使用强制机制：

Coercion is_true : bool >-> Sortclass.
Definition subsetA : Set := { a : A | filter a }.

接下来，过滤器a上的非依赖模式匹配不会将过滤器a=true传播到true分支中。您至少有三种选择：

使用策略构建您的演员阵容：

Definition cast (a: A) : option subsetA.
  destruct (filter a) eqn:prf.
  - exact (Some (exist _ a prf)).
  - exact None.
Defined.

使用依赖模式匹配在Stackoverflow或中显式搜索护航模式：

使用计划设施：

Require Import Coq.Program.Program.

Program Definition cast'' (a: A) : option subsetA :=
  match filter a with
  | true => Some (exist _ a _)
  | false => None
  end.

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首先是标准包装器。您可以这样明确地使用它：

Definition subsetA : Set := {a : A | is_true (filter a) }.

或者隐式使用强制机制：

Coercion is_true : bool >-> Sortclass.
Definition subsetA : Set := { a : A | filter a }.

接下来，过滤器a上的非依赖模式匹配不会将过滤器a=true传播到true分支中。您至少有三种选择：

使用策略构建您的演员阵容：

Definition cast (a: A) : option subsetA.
  destruct (filter a) eqn:prf.
  - exact (Some (exist _ a prf)).
  - exact None.
Defined.

使用依赖模式匹配在Stackoverflow或中显式搜索护航模式：

使用计划设施：

Require Import Coq.Program.Program.

Program Definition cast'' (a: A) : option subsetA :=
  match filter a with
  | true => Some (exist _ a _)
  | false => None
  end.

布尔也有真的，布尔也有真的。