Types 用单个值定义类型

在这里：在幻灯片23中，他们定义了一个非常有趣的类型，

iscontr a

。我认为这可以理解为：

record iscontr {A : Set} : Set where
  constructor _exists_unique
  field
    a : A
    singleton : (x : A) -> a == x

我看不出他们提出的微妙观点。他们声称，一开始，这似乎只是证明

a

居住着多个但（路径）相连的值——这正是我在这里看到的；但事实上，他们声称，这是一个证明，有一个单一的居民在类型

a

考虑到

iscontr

甚至在

J

被引入之前就被引入（并且实际上被用来给出归纳公理的另一个定义，

J

），这一事实必须来自归纳以外的事物

好的，首先我认为，居住在这种类型意味着产生一个函数，它可以映射任何类型的

a

-包括那些非规范的值（例如由公理引入的值）（记住，我们不能在这里进行通常的模式匹配，因为我们还没有归纳公理）。这意味着即使使用公理，也无法向

A

添加新值。这一事实向我清楚地表明，我们几乎肯定会通过一个公理（这是他们在下面的幻灯片上对类型（x，α）所做的）来介绍

iscontr

类型的居民。但我不明白这如何排除存在多个

A

类型的值，这些值在

singleton

函数中枚举，为每个值生成一个

A==x

---

（此外，我无法理解拓扑、群体等的示例；因此，如果能根据幻灯片23之前介绍的公理，通过简单的推理看到解释，那就太好了）

也许让您相信

是contr A

的最好方法是证明任何可收缩类型和单元类型之间的等价性，正如前面的评论中所提到的那样。为此，我需要几个定义：

我们已经有了收缩性，但让我用这个袖珍版本：

is-contr : ∀ {a} (A : Set a) → Set _
is-contr A = Σ A λ a → ∀ x → a ≡ x

下一步：等价性。我将使用贯穿HoTT书籍的

is equiv

版本：

-- Homotopies.
infix  1 _~_

_~_ : ∀ {a b} {A : Set a} {B : A → Set b}
  (f g : ∀ a → B a) → Set _
f ~ g = ∀ x → f x ≡ g x

-- Equivalence.
is-equiv : ∀ {a b} {A : Set a} {B : Set b}
  (f : A → B) → Set _
is-equiv {A = A} {B = B} f
  = (Σ (B → A) λ g → f ∘ g ~ id)
  × (Σ (B → A) λ h → h ∘ f ~ id)

最后：

_≃_ : ∀ {a b} (A : Set a) (B : Set b) → Set _
A ≃ B = Σ (A → B) is-equiv

因此，一个函数

f

是等价的，如果它同时有一个左逆和一个右逆

这应该提醒你，等价（同构）的通常定义是一对函数

f

和

g

，这样

f∘ g~id

和

g∘ f~id

，事实上，它在逻辑上等同于上面的定义（请参见此答案的注释以获取证据）

无论如何，我们现在可以制定最终声明：

contr-≃⊤ : ∀ {a} {A : Set a} → is-contr A → A ≃ ⊤

证据相当简单：

contr-≃⊤ : ∀ {a} {A : Set a} → is-contr A → A ≃ ⊤
contr-≃⊤ (a , p)
  = (λ _ → tt)
  , ((λ _ → a) , (λ _ → refl))
  , ((λ _ → a) , p)

因此，我们的左、右逆只是所选元素的一个常量函数（from

是contra

）

连接性，如HoTT book中所定义（我希望unicode字符能为您显示）

事实上，不能用来证明这种等价性。当您在

控件中展开
p
时，可以最好地看到这一点-≃⊤证明：

contr-≃⊤ (a , p)
  = (λ _ → tt)
  , ((λ _ → a) , (λ _ → refl))
  , ((λ _ → a) , (λ x → p x))

我们需要知道从
a
到
x
（即
px:a）的实际路径≡ x）来证明这一点。但是，
∥ A.≡ x∥
弱得多-它只告诉我们这样的路径存在，但没有告诉我们路径是什么样子


这也是为什么类型理论有选择定理（而不是公理）的原因。存在量化的构造性使得证明变得微不足道。然而，如果你抹去任何关于实际居民的信息，只留下这样一个事实，你就会得到通常的选择公理。如果您愿意，请查看HoTT手册中的第3.7章和第3.8章。
只是一个假设：也许他们为拓扑学家做了这个澄清？在拓扑学中，路径连通空间不一定是可压缩的，但在类型理论中是这样的。问题是，当
iscontra A
成立时，
A
和
⊤是等效的。所以是的，从这个意义上说，
A
只有一个元素。他们提出的观点确实是关于收缩性与连通性。如果您愿意，请看一下HoTT手册中的3.11.2。@Vitus谢谢，那一章确实澄清了很多。谢谢。是
∥_∥从标准库导入的Agda类型？（或者只是类似于他们在HoTT中使用的符号）我试图与HoTT的书保持一致，但没有，Agda没有这种类型。您可以查看它在存储库中的外观，但其定义不是很有启发性。顺便说一句，下面是证据：
contr-≃⊤ (a , p)
  = (λ _ → tt)
  , ((λ _ → a) , (λ _ → refl))
  , ((λ _ → a) , (λ x → p x))