Wolfram mathematica 为什么用牛顿法求最大值'；s方法抱怨它可以'；你没有发现功能有足够的减少吗？

首先，从轮廓图上看，这似乎是一个相当简单的最大化问题，为什么用牛顿法求最大值会有问题

第二，我怎样才能摆脱这些警告呢

第三，如果我不能摆脱这些警告，我如何判断警告是否有意义，即最大化失败

例如，在下面的代码中，使用牛顿方法查找最大值会给出警告，而PrincipalAxis方法不会

o = 1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]))/( 2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 3/10 Log[E^(h/Sqrt[3])/( 2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j)/( 2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 1/10 Log[E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j)/( 2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 1/10 Log[E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/( 2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 1/10 Log[E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/( 2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))]; (* -1 makes more contours towards maximum *) contourFunc[n_, p_] := Function[{min, max}, range = max - min; Table[Exp[p (x - 1)] x range + min, {x, 0, 1, 1/n}] ]; cf = contourFunc[10, -1]; ContourPlot @@ {o, {j, -1, 1}, {h, -1, 1}, Contours -> cf} FindMaximum @@ {o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "Newton"} FindMaximum @@ {o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "PrincipalAxis"} o=1/5对数[E^（-（h/Sqrt[3]））/( 2 E^（-h/Sqrt[3]）+2 E^（h/Sqrt[3]）+ E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）+E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j+ E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）+E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j））] 3/10日志[E^（h/Sqrt[3]）/( 2 E^（-h/Sqrt[3]）+2 E^（h/Sqrt[3]）+ E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）+E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j+ E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）+E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j））] 1/5对数[E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）/( 2 E^（-h/Sqrt[3]）+2 E^（h/Sqrt[3]）+ E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）+E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j+ E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）+E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j））] 1/10日志[E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j）/( 2 E^（-h/Sqrt[3]）+2 E^（h/Sqrt[3]）+ E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）+E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j+ E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）+E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j））] 1/10对数[E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）/( 2 E^（-h/Sqrt[3]）+2 E^（h/Sqrt[3]）+ E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）+E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j+ E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）+E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j））] 1/10对数[E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）/( 2 E^（-h/Sqrt[3]）+2 E^（h/Sqrt[3]）+ E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）+E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j+ E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）+E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j））； （*-1使更多轮廓朝向最大值*） 轮廓函数[n，p]：=函数[{min，max}， 范围=最大值-最小值； 表[Exp[p（x-1）]x范围+min，{x，0，1，1/n}] ]; cf=轮廓函数[10，-1]； 轮廓图@@o，{j，-1,1}，{h，-1,1}，轮廓->cf} FindMaximum@@@o，{j，0}，{h，0}，方法->牛顿} FindMaximum@@@o，{j，0}，{h，0}，方法->“PrincipalAxis”} 注意，我认为可能是其中一个组件方向的梯度为0是问题所在，但如果我扰动初始点，我仍然会得到相同的警告，下面是一个例子

o = 1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]))/( 2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 1/5 Log[E^(h/Sqrt[3])/( 2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 1/10 Log[E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j)/( 2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 3/10 Log[E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j)/( 2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 1/10 Log[E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/( 2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 1/10 Log[E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/( 2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))]; ContourPlot @@ {o, {j, -1, 1}, {h, -1, 1}} FindMaximum @@ {o, {{j, -0.008983550852535105`}, {h, 0.06931364191023386`}}, Method -> "Newton"} o=1/5对数[E^（-（h/Sqrt[3]））/( 2 E^（-h/Sqrt[3]）+2 E^（h/Sqrt[3]）+ E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）+E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j+ E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）+E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j））] 1/5日志[E^（h/Sqrt[3]）/( 2 E^（-h/Sqrt[3]）+2 E^（h/Sqrt[3]）+ E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）+E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j+ E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）+E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j））] 1/10对数[E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）/( 2 E^（-h/Sqrt[3]）+2 E^（h/Sqrt[3]）+ E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）+E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j+ E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）+E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j））] 3/10日志[E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j）/( 2 E^（-h/Sqrt[3]）+2 E^（h/Sqrt[3]）+ E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）+E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j+ E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）+E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j））] 1/10对数[E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）/( 2 E^（-h/Sqrt[3]）+2 E^（h/Sqrt[3]）+ E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）+E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j+ E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）+E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j））] 1/10对数[E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）/( 2 E^（-h/Sqrt[3]）+2 E^（h/Sqrt[3]）+ E^（-h/Sqrt[3]）-Sqrt[2]j）+E^（h/Sqrt[3]-Sqrt[2]j+ E^（-Sqrt[3]h+Sqrt[2]j）+E^（Sqrt[3]h+Sqrt[2]j））； 等高线图@@o，{j，-1,1}，{h，-1,1} FindMaximum@@@o，{{j，-0.0089835508525251055`}，{h， 0.06931364191023386`}，方法->牛顿}

---

从数学上讲，我不确定Netwon方法失败的确切原因，但本文中的示例指出了这一特定问题以及可能问题下的错误消息：“使用机器精度算法，即使具有平滑最大值的函数也可能看起来不平稳”

因此，如果使用

WorkingPrecision->20

选项将工作精度提高到

FindMaximum

，警告将消失：

In[25]:= FindMaximum[o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method->"Newton", WorkingPrecision->20]

Out[25]= {-2.0694248079871222533, {j -> -0.14189560954670761863, h -> 0}}

鉴于错误的文本具有相当的描述性：

FindMaximum:：lstol：行搜索将步长减小到公差范围内 由AccuracyGoal和PrecisionGoal指定，但无法找到足够的增加 在函数中。您可能需要超过工作精度的机器精度位数才能 满足这些公差要求。>>

。。。我怀疑牛顿的方法无法使用机器精度算法，以足够小的误差达到一个固定点

根据错误消息提示，如果您不想切换到较慢的高精度算术，可以使用

AccuracyGoal

选项指定解决方案中所需的有效位数：

In[27]:= FindMaximum[o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "Newton", AccuracyGoal -> 5]

Out[27]= {-2.06942, {j -> -0.141896, h -> -2.78113*10^-17}}

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希望有帮助

从数学上讲，我不确定Netwon方法失败的确切原因，但本文中的例子指出了这一特定问题和可能问题下的错误信息：“使用机器精度算法，即使具有平滑最大值的函数也可能看起来不稳定”

因此，如果使用

WorkingPrecision->20

选项将工作精度提高到

FindMaximum

，警告将消失：

In[25]:= FindMaximum[o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method->"Newton", WorkingPrecision->20]

Out[25]= {-2.0694248079871222533, {j -> -0.14189560954670761863, h -> 0}}

鉴于错误的文本具有相当的描述性：

FindMaximum:：lstol：行搜索将步长减小到公差范围内 由AccuracyGoal和PrecisionGoal指定，但无法找到足够的增加 在函数中。您可能需要超过工作精度的机器精度位数才能 满足这些公差要求。>>

。。。我怀疑牛顿的方法无法使用机器精度算法，以足够小的误差达到一个固定点

如错误消息hin所示