Wolfram mathematica 未知维数学中的符号矩阵

在Mathematica中，对于维数未知的矩阵，有没有办法做符号矩阵代数？例如，如果我有一个MxL矩阵A和一个LxN矩阵B，我希望能够输入

A.B

让它给我一个矩阵，它的元素ab[i，j]由

Sum[a[i,l]*b[l,j],{l,1,L}]

---

我正在研究的问题与此类似，但涉及12个矩阵的乘积，包括同一个矩阵（及其转置）重复多次。可能会简化结果矩阵的值，但直到我完成代数运算后，才知道这是否可行。这可能是一个我必须手工解决的问题，但如果Mathematica能够在简化代数方面提供一些帮助，那就容易多了。

我不确定这是否真的很有帮助，但这可能是一个开始：

ClearAll[SymbolicMatrix]
SymbolicMatrix /: Transpose[SymbolicMatrix[a_, {m_, n_}]] := 
     SymbolicMatrix[Evaluate[a[#2, #1]] & , {n, m}]
SymbolicMatrix /: 
 SymbolicMatrix[a_, {m_, n_}] . SymbolicMatrix[b_, {n_, p_}] := 
     With[{s = Unique[\[FormalI], Temporary]}, 
  SymbolicMatrix[Function[{\[FormalN], \[FormalM]}, 

    Evaluate[Sum[a[\[FormalN], s]*b[s, \[FormalM]], {s, 1, n}]]], {m, 
    p}]]
SymbolicMatrix /: SymbolicMatrix[a_, {m_, n_}][[i_, j_]] := a[i, j]

---

现在，定义一些符号矩阵并进行点积：

In[109]:= amat = SymbolicMatrix[a, {n, k}]; 
bmat = SymbolicMatrix[b, {k, k}]; 

评估矩阵元素：

In[111]:= (amat . bmat . Transpose[amat])[[i, j]]

Out[111]= Sum[
 a[j, \[FormalI]$1485]*
  Sum[a[i, \[FormalI]$1464]*
    b[\[FormalI]$1464, \[FormalI]$1485], {\[FormalI]$1464, 1, k}], 
   {\[FormalI]$1485, 1, k}]

---

这是浪费我早上的代码[删除死链接]。。。它还不完整，但基本上可以工作。您可以从上一个链接[dead]获取笔记本，也可以复制下面的代码

请注意，不久前出现了一个类似的问题

就像Sasha的解决方案一样，您可以使用

A = SymbolicMatrix["A", {n, k}]

对于某些字符串

“A”

，它不必与符号

A

相同。好的，下面是代码：

ClearAll[SymbolicMatrix]
Options[SymbolicMatrix] = {Transpose -> False, Conjugate -> False, MatrixPower -> 1};

输入方阵的简写法（可用于不同的头部…）

转置、共轭、共轭变换和逆变换下的行为

SymbolicMatrix/:Transpose[SymbolicMatrix[name_String,{m_,n_},opts:OptionsPattern[]]]:=SymbolicMatrix[name,{n,m},
  Transpose->!OptionValue[SymbolicMatrix,Transpose],Sequence@@FilterRules[{opts},Except[Transpose]]]
SymbolicMatrix/:Conjugate[SymbolicMatrix[name_String,{m_,n_},opts:OptionsPattern[]]]:=SymbolicMatrix[name,{m,n},
  Conjugate->!OptionValue[SymbolicMatrix,Conjugate],Sequence@@FilterRules[{opts},Except[Conjugate]]]
SymbolicMatrix/:ConjugateTranspose[A:SymbolicMatrix[name_String,{m_,n_},opts:OptionsPattern[]]]:=Conjugate[Transpose[A]]
SymbolicMatrix/:Inverse[SymbolicMatrix[name_String,{n_,n_},opts:OptionsPattern[]]]:=SymbolicMatrix[name,{n,n},
  MatrixPower->-OptionValue[SymbolicMatrix,MatrixPower],Sequence@@FilterRules[{opts},Except[MatrixPower]]]

SymbolicMatrix/:(Transpose|Conjugate|ConjugateTranspose|Inverse)[eye:SymbolicMatrix[IdentityMatrix,{n_,n_}]]:=eye

组合矩阵幂（包括单位矩阵）

将尺寸标注作为工具提示进行漂亮打印

Format[SymbolicMatrix[name_String,{m_,n_},opts:OptionsPattern[]]]:=With[{
  base=If[OptionValue[SymbolicMatrix,MatrixPower]===1,
    StyleBox[name,FontWeight->Bold,FontColor->Darker@Brown],
    SuperscriptBox[StyleBox[name,FontWeight->Bold,FontColor->Darker@Brown],OptionValue[SymbolicMatrix,MatrixPower]]],
  c=Which[
    OptionValue[SymbolicMatrix,Transpose]&&OptionValue[SymbolicMatrix,Conjugate],"\[ConjugateTranspose]",
    OptionValue[SymbolicMatrix,Transpose],"\[Transpose]",
    OptionValue[SymbolicMatrix,Conjugate],"\[Conjugate]",
  True,Null]},
  Interpretation[Tooltip[DisplayForm@RowBox[{base,c}/.Null->Sequence[]],{m,n}],SymbolicMatrix[name,{m,n},opts]]]

Format[SymbolicMatrix[IdentityMatrix,{n_,n_}]]:=Interpretation[Tooltip[Style[\[ScriptCapitalI],Bold,Darker@Brown],n],SymbolicMatrix[IdentityMatrix,{n,n}]]

为点定义一些规则。需要扩展，以便它可以处理标量等。。。 也就是说，如果A.B是平方的，即使A和B都不是平方的，也可以取A.B的倒数

SymbolicMatrix::dotdims = "The dimensions of `1` and `2` are not compatible";
Unprotect[Dot]; (*Clear[Dot];*)
Dot/:(a:SymbolicMatrix[_,{_,n_},___]).(b:SymbolicMatrix[_,{m_,_},___]):=(Message[SymbolicMatrix::dotdims,HoldForm[a],HoldForm[b]];Hold[a.b])/;Not[m===n]
Dot/:Conjugate[d:Dot[A_SymbolicMatrix,B__SymbolicMatrix]]:=Map[Conjugate,d]
Dot/:(t:Transpose|ConjugateTranspose)[d:Dot[A_SymbolicMatrix,B__SymbolicMatrix]]:=Dot@@Map[t,Reverse[List@@d]]
Dot/:Inverse[HoldPattern[d:Dot[SymbolicMatrix[_,{n_,n_},___]...]]]:=Reverse@Map[Inverse,d]
A_ .(B_+C__):=A.B+A.Plus[C]
(B_+C__).A_:=B.A+Plus[C].A
Protect[Dot];

使转置、共轭和共轭变换分布在加号上

Unprotect[Transpose, Conjugate, ConjugateTranspose];
Clear[Transpose, Conjugate, ConjugateTranspose];
Do[With[{c = c}, c[p : Plus[a_, b__]] := c /@ p], {c, {Transpose, Conjugate, ConjugateTranspose}}]
Protect[Transpose, Conjugate, ConjugateTranspose];

下面是一些简单的测试/示例

现在来看处理组件扩展的代码。就像萨沙的解决方案一样，我会让部分过载

Clear[SymbolicMatrixComponent]
Options[SymbolicMatrixComponent]={Conjugate->False,MatrixPower->1};

一些符号

Format[SymbolicMatrixComponent[A_String,{i_,j_},opts:OptionsPattern[]]]:=Interpretation[DisplayForm[SubsuperscriptBox[StyleBox[A,Darker@Brown],RowBox[{i,",",j}],
RowBox[{If[OptionValue[SymbolicMatrixComponent,{opts},MatrixPower]===1,Null,OptionValue[SymbolicMatrixComponent,{opts},MatrixPower]],If[OptionValue[SymbolicMatrixComponent,{opts},Conjugate],"*",Null]}/.Null->Sequence[]]]],
SymbolicMatrixComponent[A,{i,j},opts]]

用于提取矩阵部分和矩阵乘积的代码 需要添加检查以确保显式求和范围都是合理的

SymbolicMatrix/:SymbolicMatrix[A_String,{m_,n_},opts:OptionsPattern[]][[i_,j_]]:=SymbolicMatrixComponent[A,If[OptionValue[SymbolicMatrix,{opts},Transpose],Reverse,Identity]@{i,j},Sequence@@FilterRules[{opts},Options[SymbolicMatrixComponent]]]

SymbolicMatrix/:SymbolicMatrix[IdentityMatrix,{m_,n_}][[i_,j_]]:=KroneckerDelta[i,j]

Unprotect[Part]; (*Clear[Part]*)
Part/:((c___.b:SymbolicMatrix[_,{o_,n_},OptionsPattern[]]).SymbolicMatrix[A_String,{n_,m_},opts:OptionsPattern[]])[[i_,j_]]:=With[{s=Unique["i",Temporary]},Sum[(c.b)[[i,s]]SymbolicMatrixComponent[A,If[OptionValue[SymbolicMatrix,{opts},Transpose],Reverse,Identity]@{s,j},Sequence @@ FilterRules[{opts}, Options[SymbolicMatrixComponent]]],{s,n}]]
Part/:(a_+b_)[[i_,j_]]:=a[[i,j]]+b[[i,j]]/;!And@@(FreeQ[#,SymbolicMatrix]&/@{a,b})
Part/:Hold[a_][[i_,j_]]:=Hold[a[[i,j]]]/;!FreeQ[a,SymbolicMatrix]
Protect[Part];

一些例子：

---

如果您愿意从Mathematica切换到Python，您需要的功能在Symphy的开发分支中。它应该在0.72版本中

In [1]: from sympy import *
In [2]: X = MatrixSymbol('X', 2,3)
In [3]: Y = MatrixSymbol('Y', 3,3)
In [4]: X*Y*X.T
Out[4]: X⋅Y⋅X'

In [5]: (X*Y*X.T)[0,1]
Out[5]: 
X₀₀⋅(X₁₀⋅Y₀₀ + X₁₁⋅Y₀₁ + X₁₂⋅Y₀₂) + X₀₁⋅(X₁₀⋅Y₁₀ + X₁₁⋅Y₁₁ + X₁₂⋅Y₁₂) + X₀₂⋅(X₁₀⋅Y₂₀ + X₁₁⋅Y₂₁ + X₁₂⋅Y₂₂)

这些纯符号对象还可以使用所有标准矩阵算法来显式定义矩阵

In [14]: X = MatrixSymbol('X', 2,2)
In [14]: X.as_explicit().det()
Out[14]: X₀₀⋅X₁₁ - X₀₁⋅X₁₀

符号形矩阵也是可行的

In [7]: n,m,k = symbols('n,m,k')
In [8]: X = MatrixSymbol('X', n,m)
In [9]: Y = MatrixSymbol('Y', m,k)
In [10]: (X*Y)[3,4]
Out[10]: 
m - 1                
 ___                 
 ╲                   
  ╲   X(3, k)⋅Y(k, 4)
  ╱                  
 ╱                   
 ‾‾‾                 
k = 0                

我使用这种方法：

SymbolicMatrix[symbol_String, m_Integer, n_Integer] := Table[
  ToExpression[symbol <> ToString[i] <> ToString[j]],
  {i, 1, m}, {j, 1, n}
];
SymbolicMatrix[symbol_Symbol, m_Integer, n_Integer] := SymbolicMatrix[ToString[symbol], m, n];
SymbolicMatrix[symbol_, m_Integer] := SymbolicMatrix[symbol, m, 1];

因此，它创建了

m

x

n

符号，但我发现它们是描述性的，而且整个东西很容易使用（至少对我来说是这样）。

你可以使用它。例如：

MM = 3
LL = 2
NN = 3
AA = Table[Subscript[a, i, j], {i, 1, MM}, {j, 1, LL}]
BB = Table[Subscript[b, i, j], {i, 1, LL}, {j, 1, NN}]

NCDot[AA, BB]

将使用非交换项$a{i，j}$和$b{i，j}$定义符号矩阵

AA

和

BB

。这些可以被操纵并产生你想要的结果。例如：

MM = 3
LL = 2
NN = 3
AA = Table[Subscript[a, i, j], {i, 1, MM}, {j, 1, LL}]
BB = Table[Subscript[b, i, j], {i, 1, LL}, {j, 1, NN}]

NCDot[AA, BB]

将使用

**

将两个矩阵相乘

AA ** BB // NCMatrixExpand

我也会这么做，而且

tp[AA ** BB] // NCMatrixExpand

---

将使用

tp进行转置

我发现使用

In

和

Out

有一个缺点，这会使复制更加困难。你介意把定义放在一行输入中，这样我们可以更容易地访问它吗？+1我喜欢这种方法，但是你需要定义大量的矩阵函数，比如转置。此外，对于您定义的每个符号矩阵，还必须提供函数名（第109行中的a、b）。用户最好不要为此而烦恼。ToMatrix本打算为给定的显式维度实例化一个矩阵，但这并不好，所以我在编辑时删除了它。非常感谢您的帮助，@Sasha。我不是一个非常优秀的Mathematica程序员，所以在理解您的代码之前，我需要花一些高质量的时间阅读文档（我可能会阅读模块、范围等）。同时，我可能会遵循@rcollyer的建议，手工完成。作为Sasha，这是可行的。但是，我会亲手做这件事，并依靠Mathematica一路检查。不过，我会使用，因为它将节省大量时间，并且使大多数操作更容易。@rcollyer我想我在你的评论中遗漏了一些东西。你使用指数收缩是什么意思？如果你的解释超出了评论的范围，我可以发表一篇特别的文章question@belisarius：我认为@rcollyer是指手工计算时使用较短的符号，因为这样更方便；不是在mma。例如，

a_1b_1+…+a_nb_n

可以方便地写成

a_ib_i

，并隐含所有

n

的总和。点积、并矢积、迹线等都可以用这种方式紧凑地书写。当涉及到指数时，事情会变得更加混乱，因为符号变得混乱（我不确定他们是否在这种情况下使用这种符号）。@belisarius：谷歌的快速搜索让我找到了一个可以使用爱因斯坦求和约定执行符号张量计算的方法。我还没有测试过它，但是如果它有什么好处的话，它应该被添加到Mathematica tools上的CW帖子中。它目前对我们没有帮助，但是Stephen Wolfram已经承诺一种能力即将到来，它“将使做严肃的张量分析感觉就像做普通代数一样”。我很想知道他说的是什么意思，以及这种能力是否能够解决这个问题所提出的问题。这是我无法理解的，但它看起来很奇特，所以：+1@Mr.Wizard当前位置我怀疑这一切都超出了你的想象。这只是一堆

选项*

命令…哇，你应该在Mathematica工具包社区维基上发布，做得很好。谢谢，@Simon！这非常有用。我不是一个非常好的数学家和程序员，所以我不太懂数学

tp[AA ** BB] // NCMatrixExpand