Wolfram mathematica 在Mathematica中，如何定义任意概率分布？

我想要一个积分为1的任意函数p[x]，对于所有的x，0，如果你只是想要符合你标准的密度函数（PDF）的例子，这里有两个（不可数）：

p（x）=1如果0

我们甚至可以略作概括：

p(x) = 1/k if 0 < x < k
       0 otherwise

p(x) = 2x/k^2 if 0 < x < k
       0 otherwise

p（x）=1/k如果0

后者适用于k>=2。 我们甚至可以用另一个参数来推广，得到一类具有任意指数的函数

p(x) = (a+1)/k^(a+1)*x^a if 0 < x < k
       0 otherwise

p（x）=（a+1）/k^（a+1）*x^a如果0

这适用于所有a>1和k>a+1

对于更有趣的例子，我认为您需要给出更多的标准。 您提到了一个转换规则，所以可能希望在R1上取一个任意有界函数，并对其进行平移/缩放，使其始终在0和1之间，并积分为1。 这将有一个简单的答案，只要你能得到给定函数的最小值，最大值和积分。

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继续编辑问题，询问您是否真的在寻找这个问题。

您可以使用

概率分布

以及未定义的

x

函数：

dist = ProbabilityDistribution[p[x], {x, -Infinity, Infinity}];

它现在知道了一些需要应用的规则：

• 连续概率密度：单个值的概率为零

  In[26]:= Probability[x == 0, x \[Distributed] dist]
  
  Out[26]= 0
  

• 有一个值的概率

  In[28]:= Probability[x > 0 || x <= 0, x \[Distributed] dist]
  
  Out[28]= 1
  

• 正无穷远处的CDF

  In[30]:= CDF[dist][\[Infinity]]
  
  Out[30]= 1
  

• PDF

  In[32]:= PDF[dist][x]
  
  Out[32]= p[x]
  

• 但是，它并不假设分布的PDF是标准化的：

  In[33]:= Integrate[PDF[dist][x], {x, -Infinity, Infinity}]
  
  Out[33]= Integrate[p[x], {x, -Infinity, Infinity}]
  

• 可以设定后者，定义p的UpValue：

  p /: Integrate[p[x], {x, -Infinity, Infinity}] = 1;
  

• 现在它可以集成PDF：

  In[4]:= Integrate[PDF[dist][x], {x, -Infinity, Infinity}]
  
  Out[4]= 1
  

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您知道您的第二个要求，即

0您所说的任意性是什么意思？一种“随机函数”？任意的，我没有给它下定义。不透明。你怎么能使用你没有定义的东西？请问这个功能是做什么用的？通过积分到1，是在[0,1]上还是在R上？我希望我能告诉Mathematica，我有一个积分到1/R的不透明函数p，它可以利用这个事实来简化一个涉及p的更复杂的积分。
p /: Integrate[p[x], {x, -Infinity, Infinity}] = 1;

In[4]:= Integrate[PDF[dist][x], {x, -Infinity, Infinity}]

Out[4]= 1