Z3中带量词的函数

我对量词有问题

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设a（0）=0，根据x（n）的值，a（n+1）可以是a（n）+1或a（n）+2。我们可以预期，对于任何类型的x（.）和所有n，a（n）的公式是SAT，对于n<0，a的图是未指定的。 但是默认的量词实例化引擎无法确定这一点。您可以利用定义递归函数来实施不同的引擎

;(declare-fun a (Int) Int)
 (declare-fun x (Int) Int)
 (declare-fun y (Int) Int)
 (declare-fun N () Int)
 (define-fun-rec a ((n Int)) Int
   (if (> n 0) (if (> (x (- n 1)) 0) (+ (a (- n 1)) 1) (+ (a (- n 1)) 2)) (y n)))
(assert (= (a 0) 0))
(assert (> (a N) (+ N N)))

(check-sat)
(get-model)

正如Malte所写的那样，没有对这类公式的归纳的支持，所以不要期望Z3产生归纳证明。它确实在一类Horn子句公式上找到了归纳不变量，但它需要一种转换来将任意公式转换成这种格式。

谢谢，Malte和Nikolaj。 变量N应该有界：

(assert (> N 0))
(assert (< N 10000))

与

它适用于a（n）的两个定义。 这是你提到的归纳证明吗

下面是两段代码，它们都返回“unsat”：

（声明乐趣a（Int）Int）
（声明乐趣x（Int）Int）
（声明N（）Int）
（全部）
（（n Int））
（=>（>=n0）
（=（a（+n 1））
（ite（>（xN）0）
（+（a n）1）
（+（a n）2）
)
))
))
（断言（=（a0）0））
（断言（>n0））
（断言（（a N）（+N）））
（a）断言（和
（不是（>（a N）（+N）））
（>（a（+n1））（+（+n1）（+n1）））
))
（检查sat）
;（获取模型）

及

（声明funx（Int）Int）
（声明乐趣y（Int）Int）
（声明N（）Int）
（定义娱乐记录a（（n Int））Int
（如果（>n0）
（如果（>（x（-n1））0）（+（a（-n1））1）（+（a（-n1））2））（yn）））
（断言（=（a0）0））
（断言（>n0））
（断言（（a N）（+N）））
（a）断言（和
（不是（>（a N）（+N）））
（>（a（+n1））（+（+n1）（+n1）））
))
（检查sat）
;（获取模型）

你需要一个归纳证明来证明你的财产，而Z3不能做归纳证明Hanks，Nikolaj。你介意提供一个关于归纳不变量和你提到的变换的参考吗？这是你自己问题的答案吗？如果是这样，考虑接受它，这是完全好的。如果没有，请编辑您的原始问题，而不是使用答案提供更多详细信息或询问后续问题。

(assert (> N 0))
(assert (< N 10000))

(assert (> (a N) (+ N N)))

(assert (and
 (not (> (a N) (+ N N)))
 (> (a (+ N 1)) (+ (+ N 1) (+ N 1)))
))

(declare-fun a (Int) Int)
(declare-fun x (Int) Int)
(declare-fun N () Int)
(assert (forall 
  ((n Int))
    (=> (>= n 0)
        (= (a (+ n 1))
        (ite (> (x n) 0)
        (+ (a n) 1)
        (+ (a n) 2)
        )
    ))
))
(assert (= (a 0) 0))

(assert (> N 0))
(assert (< N 10000))
;(assert (> (a N) (+ N N)))
(assert (and
  (not (> (a N) (+ N N)))
  (> (a (+ N 1)) (+ (+ N 1) (+ N 1)))
))
(check-sat)
;(get-model)

(declare-fun x (Int) Int)
(declare-fun y (Int) Int)
(declare-fun N () Int)

(define-fun-rec a ((n Int)) Int
  (if (> n 0) 
  (if (> (x (- n 1)) 0) (+ (a (- n 1)) 1) (+ (a (- n 1)) 2)) (y n)))
(assert (= (a 0) 0))

(assert (> N 0))
(assert (< N 10000))
;(assert (> (a N) (+ N N)))
(assert (and
  (not (> (a N) (+ N N)))
  (> (a (+ N 1)) (+ (+ N 1) (+ N 1)))
))
(check-sat)
;(get-model)