在3d中仅给定一个向量构造正交基

我正在寻找一种简单有效的方法来解决以下问题：

我在3d中有一个向量，我想得到一个正交基（x，y，z），其中一个基向量（比如x）是给定的向量。我在寻找两个向量，相互垂直，也垂直于给定向量

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我知道这有无限多的解决方案，但我不在乎我得到哪一个，只要它满足上述要求，并且得到它是简单有效的

让我们调用

x

你的单位向量。调用

u=（1,0,0）

。如果

dot（u，x）~=0

，则取

u=（0,1,0）

。然后，

y=x^u

和

z=x^y

为了摆脱Tibur的if，您可以通过使用便宜的（er）mul+float铸造获得轻微的改进

y = x ^ u
y.z += float(y==0); // this changes a zero-vector into (0,0,1)
z = x ^ y

与检查u==x相比，在叉积之后进行向量比较可以提供更稳定的解决方案，浮点转换取决于您的体系结构，但在大多数编译器/平台中都有效

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基本上，当x与u共线时，这种基函数总是有一个奇点，所以试着从上下文中明智地选择u，记住u不一定是常数。在大多数情况下，您可以选择u与一个简单的情况重合，以便平滑奇点并保持整体变换的稳定。

谢谢，这很有效。我使用了您的解决方案，但做了一些小的修改：我将

u=（-x1，x0，x2）

放进去以避免if。只要向量

（x0，x1，x2）

和

（-x1，x0，x2）

是线性独立的，直觉上似乎是这样的（对巨大随机数据集的测试支持它）。我不同意你的

u

向量选择：

点（（x0，x1，x2），（-x1，x0，x2））=-x0.x1+x0.x1+x2=x2.x2

。因此，只有当

x2！=0

。我认为使用这个向量是不安全的。不，我使用u向量只是为了帮助我像这样计算y和z：

u=（-x1，x0，x2）；y=x^u；z=y^u

所以我不需要它垂直于x，只需要线性独立。嗯，现在我实际上做了一些数学运算，只看到当

x0

和

x1

都为零时，我对线性独立向量的选择失败了。似乎没有办法解决这个问题，如果…没有。当x2等于零时，

u

向量选择失败。我仍然认为我的

if

用

u=X

或

u=Y

测试是最可靠的。为什么要测试点（X，u）~=0？