3d 绕任意轴旋转

我正在为星际争霸2定制地图编程，并在3D中获得了一些数学问题。目前，我正在尝试创建一个点，并围绕任意轴旋转，该轴由x、y和z给定（xyz向量是标准化的）

我试了很多次，在网上读了很多东西，但我就是不知道它是如何正确工作的。我当前的脚本（你可能不懂语言，但没什么特别的）是打破一切长达数小时（无法正常工作）的结果：

我就是想不起数学。如果你能用简单的术语解释这是最好的解决方案，那么剪掉一段代码也会很好（但没有那么大的帮助，因为我计划将来做更多的3D工作）。

。看看下面的部分。为方便起见，这是您需要的矩阵。有点毛茸茸的。θ是角度，ux、uy和uz是归一化的轴向量的x、y和z分量

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如果你不懂矩阵和向量，请发回来，我会帮助你。

做这种旋转的一个有用方法是用。在实践中，我发现它们更容易使用，而且还有避免使用的额外好处

这是一个很好的演示，解释了它们如何以及为什么用于绕任意轴旋转（这是对用户问题的回答）。这是一个更高的层次，对新手来说会更好，所以我建议从这里开始

更新以避免链路腐蚀

链接站点中的文本：

毫无疑问，你们已经得出结论，绕轴旋转 通过原点和单位球体上的点（a、b、c） 三维是一种线性变换，因此可以 用矩阵乘法表示。我们将进行一次非常顺利的会议 确定该矩阵的方法，但要注意紧凑性 对于公式，明智的做法是先说几句话

三维旋转是相当特殊的线性旋转 转换，尤其是因为它们保留了 向量以及（当两个向量旋转时）两个向量之间的角度 向量。这种变换称为“正交”变换，它们是 由正交矩阵表示：

M M' = I

在这里，我们方便地用“.”表示转置。换句话说 正交矩阵的转置是其逆矩阵

考虑定义转换所需的数据。 您已经给出了旋转轴的符号，

ai+bj+ck

， 方便地假设为单位向量。唯一的其他基准是 旋转角度，这是因为我缺少一个更自然的性格 用r表示（旋转？），我们假设在 弧度

现在旋转实际上有点特别，即使是在正交旋转中 变换，实际上它们也被称为特殊正交变换 变换（或矩阵）凭借其存在的性质 “方向保持”。将它们与反射进行比较，它们是 同时保持长度和角度，你会发现 具有保持方向（或“惯用手”的特征，如果你 首选）在矩阵的行列式中有一个数值对应项。 旋转矩阵具有行列式1，而反射矩阵具有行列式1 行列式-1。结果表明，两种物质的产物（或成分）是 旋转也是一种旋转，这与 乘积的行列式是行列式的乘积（或 旋转的情况）

现在，我们可以描述一种可以遵循的逐步方法 构造所需的矩阵（在我们缩短整个过程和 跳到答案上来！）。首先考虑一个我们旋转的步骤 单位向量：

u = ai + bj + ck

u = ai + bj + ck

所以它可能与一个“标准”单位向量相吻合 k（正z轴）。现在我们知道如何绕z轴旋转； 这是一个在x，y上进行常规2x2变换的问题 仅坐标：

       cos(r) sin(r)   0
M  =  -sin(r) cos(r)   0
         0      0      1

最后，我们需要“撤销”将u带到k的初始旋转， 这很容易，因为这个变换的逆是（我们 召回）由矩阵转置表示。换句话说，如果 矩阵R表示从u到k的旋转，然后R'从k到u， 我们可以这样写出变换的组成：

R' M R

很容易证明，当矩阵的乘积相乘时 乘以u，再次将u返回：

R' M R u = R' M k = R' k = u

因此，这确实是绕u定义的轴旋转

这个表达式的一个优点是它清楚地将 从Q和Q'对角r的依赖性看M对角r的依赖性 “轴”向量u。但是如果我们必须在 详细来说，我们显然有很多矩阵乘法要做

所以，走捷径。事实证明，当所有的尘埃落定时 旋转之间的乘法同构于单位的乘法 四元数。四元数，如果你以前没见过的话，是一个 一种复数的四维推广。他们是 威廉·汉密尔顿于1843年“发明”：

[威廉·罗文·汉密尔顿爵士]

今天的3D图形程序员欠了他一大笔债

每个单位四元数

q=q0+q1*i+q2*j+q3*k

然后定义一个旋转矩阵：

     (q0² + q1² - q2² - q3²)      2(q1q2 - q0q3)          2(q1q3 + q0q2)

Q  =      2(q2q1 + q0q3)     (q0² - q1² + q2² - q3²)      2(q2q3 - q0q1)

          2(q3q1 - q0q2)          2(q3q2 + q0q1)     (q0² - q1² - q2² + q3²)

        -1     0     0

Q =      0  -0.28  0.96

         0   0.96  0.28

     (q0² + q1² - q2² - q3²)      2(q1q2 - q0q3)          2(q1q3 + q0q2)

Q  =      2(q2q1 + q0q3)     (q0² - q1² + q2² - q3²)      2(q2q3 - q0q1)

          2(q3q1 - q0q2)          2(q3q2 + q0q1)     (q0² - q1² - q2² + q3²)

验证Q是正交矩阵，即

Q'=I

，意味着 本质上，Q的行构成正交基。那么，为了 例如，第一行的长度应为1：

(q0² + q1² - q2² - q3²)² + 4(q1q2 - q0q3)² + 4(q1q3 + q0q2)²

  = (q0² + q1² - q2² - q3²)² + 4(q1q2)² + 4(q0q3)² + 4(q1q3)² + 4(q0q2)²

  = (q0² + q1² + q2² + q3²)²

  =  1

前两行应该有点积零：

  [ (q0² + q1² - q2² - q3²), 2(q1q2 - q0q3), 2(q1q3 + q0q2) ]

   * [ 2(q2q1 + q0q3), (q0² - q1² + q2² - q3²), 2(q2q3 - q0q1) ]

 = 2(q0² + q1² - q2² - q3²)(q2q1 + q0q3)

   + 2(q1q2 - q0q3)(q0² - q1² + q2² - q3²)

   + 4(q1q3 + q0q2)(q2q3 - q0q1)

 = 4(q0²q1q2 + q1²q0q3 - q2²q0q3 - q3²q2q1)

   + 4(q3²q1q2 - q1²q0q3 + q2²q0q3 - q0²q2q1)

 =  0

通常也可以显示

det（Q）=1

，因此Q是 真的是轮换

Rotated Point = (X1+A''', Y1+B''', Z1+C''');

但是Q是绕什么轴旋转的呢？从什么角度看？好， 给定角度r和单位矢量：

u = ai + bj + ck

u = ai + bj + ck

与前面一样，对应的四元数为：

q = cos(r/2) + sin(r/2) * u

  = cos(r/2) + sin(r/2) ai + sin(r/2) bj + sin(r/2) ck

q = cos(pi/2) + sin(pi/2) * u

  = 0 + 0i + 0.6j + 0.8k

因此：

q0 = cos(r/2), q1 = sin(r/2) a, q2 = sin(r/2) b, q3 = sin(r/2) c,

我们能够得到期望的性质，即乘以Q“fix

q0 = cos(r/2),  q1 = sin(r/2) a,  q2 = sin(r/2) b,  q3 = sin(r/2) c

     (q0² + q1² - q2² - q3²)      2(q1q2 - q0q3)          2(q1q3 + q0q2)

Q  =      2(q2q1 + q0q3)     (q0² - q1² + q2² - q3²)      2(q2q3 - q0q1)

          2(q3q1 - q0q2)          2(q3q2 + q0q1)     (q0² - q1² - q2² + q3²)

Q u = u

Point of Rotation = (X1, Y1, Z1)
Point Location    = (X1+A, Y1+B, Z1+C)

(Point Location - Point of Rotation) = (A, B, C).

    A' = A*cos ZAngle - B*sin ZAngle
    B' = A*sin ZAngle + B*cos ZAngle
    C' = C.

    C'' = C'*cos YAngle - A'*sin YAngle
    A'' = C'*sin YAngle + A'*cos YAngle
    B'' = B'   

    B''' = B''*cos XAngle - C''*sin XAngle
    C''' = B''*sin XAngle + C''*cos XAngle
    A''' = A''

Rotated Point = (X1+A''', Y1+B''', Z1+C''');

    const nt = q.θ * del;  // scaled angle by some dT
    const s  = Math.sin( nt ); // sin/cos are the function of exp()
    const c1 = Math.cos( nt );
    const c = 1- c1;

    const qx = /*Axis unit vector X*/;
    const qy = /*Axis unit vector Y*/;
    const qz = /*Axis unit vector Z*/;

    const cnx = c*qx;
    const cny = c*qy;
    const cnz = c*qz;

    const xy = cnx*qy;  // x * y / (xx+yy+zz) * (1 - cos(2t))
    const yz = cny*qz;  // y * z / (xx+yy+zz) * (1 - cos(2t))
    const xz = cnz*qx;  // x * z / (xx+yy+zz) * (1 - cos(2t))

    const wx = s*qx;     // x / sqrt(xx+yy+zz) * sin(2t)
    const wy = s*qy;     // y / sqrt(xx+yy+zz) * sin(2t)
    const wz = s*qz;     // z / sqrt(xx+yy+zz) * sin(2t)

    const xx = cnx*qx;  // y * y / (xx+yy+zz) * (1 - cos(2t))
    const yy = cny*qy;  // x * x / (xx+yy+zz) * (1 - cos(2t))
    const zz = cnz*qz;  // z * z / (xx+yy+zz) * (1 - cos(2t))

    const basis = { right  :{ x : c1 + xx, y : wz + xy, z : xz - wy }
                  , up     :{ x : xy - wz, y : c1 + yy, z : wx + yz }
                  , forward:{ x : wy + xz, y : yz - wx, z : c1 + zz }
                  };