3d 贝塞尔三次曲线：以均匀加速度移动

假设我有一个

B（u）

，如果我以恒定速率增加

u

参数，我不会获得沿曲线的共线速度运动，因为

u

参数和评估曲线获得的点之间的关系不是线性的

我已经阅读并实现了David Ebery的。它解释了如何沿参数曲线以恒定速度移动

假设我有一个函数

F（t）

，它以时间值

t

作为输入，还有一个速度函数

sigma

，它返回时间

t

的速度值，我可以获得沿曲线的共时速度运动，以恒定速率改变t参数：

B（F（t））

我正在使用的文章的核心是以下函数：

float umin, umax; // The curve parameter interval [umin,umax].
Point Y (float u); // The position Y(u), umin <= u <= umax.
Point DY (float u); // The derivative dY(u)/du, umin <= u <= umax.
float LengthDY (float u) { return Length(DY(u)); }
float ArcLength (float t) { return Integral(umin,u,LengthDY()); }
float L = ArcLength(umax); // The total length of the curve.
float tmin, tmax; // The user-specified time interval [tmin,tmax]
float Sigma (float t); // The user-specified speed at time t.

float GetU (float t) // tmin <= t <= tmax
{
  float h = (t - tmin)/n; // step size, `n' is application-specified
  float u = umin; // initial condition
  t = tmin; // initial condition
  for (int i = 1; i <= n; i++)
  {
    // The divisions here might be a problem if the divisors are
    // nearly zero.
    float k1 = h*Sigma(t)/LengthDY(u);
    float k2 = h*Sigma(t + h/2)/LengthDY(u + k1/2);
    float k3 = h*Sigma(t + h/2)/LengthDY(u + k2/2);
    float k4 = h*Sigma(t + h)/LengthDY(u + k3);
    t += h;
    u += (k1 + 2*(k2 + k3) + k4)/6;
  }
  return u;
}

假设我想知道时间

t=3时沿曲线的位置。
如果我是等速：

float sigma(float t)
{
  return 1f;
}

以及以下数据：

V0 = 1;
V1 = 1;
t0 = 0;
L = 10;

V0 = 1;
V1 = 2;
t0 = 0;
L = 10;

我可以分析计算位置：

px = v0 * t = 1 * 3 = 3

如果我使用贝塞尔样条曲线和上述算法，用
n=5
解同一个方程，我得到：

px = 3.002595;

考虑到数值近似，该值非常精确（我做了很多测试。我省略了细节，但Bezier我的曲线实现很好，并且曲线本身的长度是使用非常精确的方法计算的）

现在，如果我试图将西格玛定义为一个均匀的加速度函数，我会得到糟糕的结果。
考虑以下数据：

V0 = 1;
V1 = 1;
t0 = 0;
L = 10;

V0 = 1;
V1 = 2;
t0 = 0;
L = 10;

我可以使用线性运动方程计算粒子到达P1的时间：

L = 0.5 * (V0 + V1) * t1 =>
t1 = 2 * L / (V1 + V0) = 2 * 10 / 3 = 6.6666666

有
t
我可以计算加速度：

a = (V1 - V0) / (t1 - t0) = (2 - 1) / 6.6666666  = 0.15

我拥有定义西格玛函数的所有数据：

float sigma (float t)
{
  float speed = V0 + a * t;
}

如果我通过分析来解决这个问题，我希望粒子在时间
t=3之后的速度如下：

Vx = V0 + a * t = 1 + 0.15 * 3 = 1.45

该职位将是：

px = 0.5 * (V0 + Vx) * t = 0.5 * (1 + 1.45) * 3 = 3.675

但如果我用上面的算术公式计算，位置结果是：

px = 4.358587

这与我所期望的完全不同

抱歉这么长的帖子，如果有人有足够的耐心阅读，我会很高兴的

你有什么建议吗？我遗漏了什么？谁能告诉我我做错了什么


编辑：
我正在尝试3D贝塞尔曲线。定义如下：

public Vector3 Bezier(float t)
{
    float a = 1f - t;
    float a_2 = a * a;
    float a_3 = a_2 *a;

    float t_2 = t * t;

    Vector3 point = (P0 * a_3) + (3f * a_2 * t * T0) + (3f * a * t_2 * T1) + t_2 * t * P1 ;

    return point;
}

以及衍生工具：

public Vector3 Derivative(float t)
{
    float a = 1f - t;
    float a_2 = a * a;
    float t_2 = t * t;
    float t6 = 6f*t;

    Vector3 der = -3f * a_2 * P0 + 3f * a_2 * T0 - t6 * a * T0 - 3f* t_2 * T1 + t6 * a * T1 + 3f * t_2 * P1;

    return der;
}

我的猜测是
n=5
根本无法为您提供足够的精度来解决手头的问题。事实上，对于恒定速度的情况，这是可以的，但并不意味着对于恒定加速度的情况也是可以的。不幸的是，您必须定义自己的折衷方案，为
n
提供适合您的需求和资源的价值

无论如何，如果你真的有一个足够精确的恒速参数化X（u（t）），那么你可以将这个“时间”参数
t
重命名为“空间”（距离）参数
s
，这样你真正拥有的是一个X（s），你只需要插入s（t）你需要：X（s（t））。在你的例子（恒定加速度）中，s（t）=s0+ut+at2/2，其中u和a很容易从你的输入数据中确定。
我认为你只是在实现中没有显示的函数中的某个地方有一个拼写错误，Y和DY。我尝试了一条P0=0、T0=1、T1=9、P1=10的一维曲线，得到了3.6963165，其中n=5，当n=30时，该值提高到3.675044；当n=100时，该值提高到3.6750002

如果您的实现是二维的，请尝试使用P0=（0,0）、T0=（1,0）、T1=（9,0）和P1=（10,0）。然后用P0=（0,0）、T0=（0,1）、T1=（0,9）和P1=（0,10）重试

如果您使用的是C，请记住，^运算符并不表示指数。你必须用pow（u，3）或u*u*u来得到u的立方体

尝试在每次迭代中打印出尽可能多的内容的值。以下是我得到的：

i=1
    h=0.6
    t=0.0
    u=0.0
    LengthDY(u)=3.0
    sigma(t)=1.0
    k1=0.2
    sigma(t+h/2)=1.045
    LengthDY(u+k1/2)=6.78
    k2=0.09247787
    LengthDY(u+k2/2)=4.8522377
    k3=0.12921873
    sigma(t+h)=1.09
    LengthDY(u+k3)=7.7258916
    k4=0.08465043
    t_new=0.6
    u_new=0.12134061
i=2
    h=0.6
    t=0.6
    u=0.12134061
    LengthDY(u)=7.4779167
    sigma(t)=1.09
    k1=0.08745752
    sigma(t+h/2)=1.135
    LengthDY(u+k1/2)=8.788503
    k2=0.0774876
    LengthDY(u+k2/2)=8.64721
    k3=0.078753725
    sigma(t+h)=1.1800001
    LengthDY(u+k3)=9.722377
    k4=0.07282171
    t_new=1.2
    u_new=0.20013426
i=3
    h=0.6
    t=1.2
    u=0.20013426
    LengthDY(u)=9.723383
    sigma(t)=1.1800001
    k1=0.072814174
    sigma(t+h/2)=1.225
    LengthDY(u+k1/2)=10.584761
    k2=0.069439456
    LengthDY(u+k2/2)=10.547299
    k3=0.069686085
    sigma(t+h)=1.27
    LengthDY(u+k3)=11.274727
    k4=0.06758479
    t_new=1.8000001
    u_new=0.26990926
i=4
    h=0.6
    t=1.8000001
    u=0.26990926
    LengthDY(u)=11.276448
    sigma(t)=1.27
    k1=0.06757447
    sigma(t+h/2)=1.315
    LengthDY(u+k1/2)=11.881528
    k2=0.06640561
    LengthDY(u+k2/2)=11.871877
    k3=0.066459596
    sigma(t+h)=1.36
    LengthDY(u+k3)=12.375444
    k4=0.06593703
    t_new=2.4
    u_new=0.3364496
i=5
    h=0.6
    t=2.4
    u=0.3364496
    LengthDY(u)=12.376553
    sigma(t)=1.36
    k1=0.06593113
    sigma(t+h/2)=1.405
    LengthDY(u+k1/2)=12.7838
    k2=0.06594283
    LengthDY(u+k2/2)=12.783864
    k3=0.0659425
    sigma(t+h)=1.45
    LengthDY(u+k3)=13.0998535
    k4=0.06641296
    t_new=3.0
    u_new=0.4024687

我调试过很多类似的程序，只需打印出大量变量，然后手工计算每个值，并确保它们是相同的。
对于t=6.6666，算法会给你什么？是数值10，即L，还是另一个？谢谢你提供的数据。我会试着做更多的实验。实际上我用的是3D贝塞尔曲线。我将用代码编辑帖子。