Algorithm 图论：带向量权的最短路径
我有一个强连通有向图，边用向量加权，其中每个向量只有非负项。我想找到一个循环，使得权重和对角向量（[1，1，1，…1]）之间的角度最小化。对于这类事情有什么算法吗Algorithm 图论：带向量权的最短路径,algorithm,theory,graph-theory,Algorithm,Theory,Graph Theory,我有一个强连通有向图，边用向量加权，其中每个向量只有非负项。我想找到一个循环，使得权重和对角向量（[1，1，1，…1]）之间的角度最小化。对于这类事情有什么算法吗 我很有信心Bellman-Ford类型的算法会给我一个相当好的解决方案，但我不相信它会是最好的-…就我对Bellman-Ford算法的理解而言，Dijkstra最短路径算法似乎也会这样做。但这是因为它的贪婪行为 编辑：Dijkstra仅适用于非负条目。但这符合你的问题考虑两个共用一个顶点的循环。完全有可能存在正整数p和q，因此p乘以第
我很有信心Bellman-Ford类型的算法会给我一个相当好的解决方案，但我不相信它会是最好的-…就我对Bellman-Ford算法的理解而言，Dijkstra最短路径算法似乎也会这样做。但这是因为它的贪婪行为
编辑：Dijkstra仅适用于非负条目。但这符合你的问题考虑两个共用一个顶点的循环。完全有可能存在正整数p和q，因此p乘以第一个循环的向量加上q乘以第二个循环的向量正好等于（1,1，…，1）的倍数。因此，除非你只局限于简单的循环，否则我不认为有一个快速算法是可证明最优的。即使你只限于简单的循环，你也可以让一个循环的一部分等于一个向量x，循环的其余部分等于一个向量c（1，1，…，1）-x，除非你列举了所有的循环并检查它们，否则你可能无法知道这一点。因此，我认为，如果你想要一个最优的解决方案，强力枚举循环可能是解决问题的唯一可行方法。因为弧可以多次使用，所以这个问题可以表述为一个问题。如果实例不是很大，那么不妨尝试Wikipedia链接到的解决方案之一 让我们把可行解设为循环x，即简单循环的正线性组合。设A为表示从圆弧到向量的线性映射的矩阵。有一个技巧，用一个小代数证明：我们不是最小化Ax相对于全一向量的角度，而是在Ax和全一向量的点积为1的约束下最小化Ax的长度 现在我们可以写下二次规划
minimize y1^2 + ... + yn^2 (positive semidefinite objective)
subject to
Ax - y = 0
x is a circulation
最后一个约束分解为线性约束
x>=0xx