Algorithm 下降段以一定概率与其他段重新结合，确定该段的预期中等长度

这是一个非常棘手的问题，只是一个提醒

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我们有

N

段，编号从

1

到

N

，由它们的左右点定义，

{left[i]，right[i]}

i

-th段位于高度

N-i

。第一部分（最高部分）开始下降，而其他部分保持不变。如果在下降过程中，一段

i

至少在一点上与另一段

j

相交，则两者将以概率

P[j]/Q[j]

重新结合，并且获得的段将继续下降。从两段的重新组合，

{A，B}

和

{C，D}

，得到的段将是

{min（A，C），max（B，D）}

要求您确定第一个管段的预期中等长度（即达到小于任何其他管段高度后）。如果此答案是一个有理数

U/V

，则要求您确定

X

，以便

X*V=U（mod 10^9+7）

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限制：

• 0

• 0

• N≤ 100000

• 时间：2.5秒

• 内存：32768 KB

`

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输入在第一行包含

N

，然后在下面的

N

行中有4个整数：

Left，Right，p，Q，

表示

i

-第

[Left，Right]

段，概率

p/Q

与下降段重新结合。 例如：

答案大约是49.813963

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想法1 最后一段的长度为R-L，其中R是右端的位置，L是左端的位置

期望是一个线性运算，所以

E（长度）=E（R）-E（L）

我们可以分别计算E（R）和E（L），然后将结果合并

想法2 我们可以迭代计算左端位置的PDF

它开始于第一段的左端（左[1]），概率为1

当它经过段i时，如果左端在左[i]和右[i]之间，将发生有趣的碰撞。我们将有趣的碰撞定义为影响左端位置的碰撞

这里的关键点是，如果我们需要知道右端的当前位置以确定是否存在碰撞，那么这不是一个有趣的碰撞！这是因为如果我们需要知道右端，那么线段i必须完全位于起点的右侧，因此它不会影响左边缘的位置

因此，为了更新PDF，我们收集了左[i]和右[i]之间的所有概率质量，乘以碰撞概率，并将结果添加到左[i]。（这些位置的现有质量按碰撞概率缩小。）

想法3 目前我们有一个O（n^2）算法，由O（n）的n次迭代组成，用于计算和修改每个范围内的质量

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但是，我们可以使用数据结构（如a）来允许我们在O（logn）时间内执行每次迭代，总时间复杂度为O（nlogn）。

您尝试过这个问题吗？你有任何代码吗？我只考虑过它，所以没有代码，除了暴力手段，我没有任何有价值的想法。预期的中等长度意味着什么？它只是长度的期望值吗？我不这么认为，不，否则它不会说中等。加上点的位置是由整数决定的。在这个例子中，答案是一个有理数aprox。49.81，预计没有一段会那么长。我认为这是所有预期长度乘以各自结果概率的算术平均数。

input:
5
35 64 58 873
41 70 407 729
18 90 165 628
10 57 33 104
60 69 152 466

output:
779316733