Algorithm 找到最佳点以切割一组间隔

给定实线上的一组区间和一些参数d>0。查找相邻点之间的间距小于或等于d的点序列，以使包含任何点的间隔数最小化。 为了防止琐碎的解决方案，我们要求序列中的第一个点在第一个间隔之前，最后一个点在最后一个间隔之后。间隔可以被认为是右开的

这个问题有名字吗？甚至可能是一个算法和复杂度界限

一些背景： 这是由拓扑数据分析中的一个问题引起的，但它似乎太笼统了，对于其他主题可能会很有趣，例如任务调度（假设工厂每年至少关闭一次，并希望将维护造成的任务数量降至最低……） 我们考虑了和，但是d参数不太合适。我们也在n^2和n*logn时间内实现了近似贪婪解，但它们可能会遇到非常糟糕的局部最优解

给我看张照片

我用线画间隔。下图显示了7个间隔。d是这样的，你必须至少每四个字符剪切一次。在图的底部，您可以看到图的两个解决方案（用x和y标记）。x穿过顶部的四个间隔，而y穿过底部的三个间隔。y是最优的

 ——— ———
 ——— ———
   ———
   ———
   ———
x x   x x
y   y   y

给我看一些代码： 在下面的代码片段中，我们应该如何定义

fun

interval=[（0,1）、（0.5,1.5）、（0.5,1.5）]
d=1.1
乐趣（间歇，d）
>>>[-0.55,0.45,1.55]#或接近它的东西

在这个小例子中，最优解将缩短第一个间隔，而不是第二个和第三个间隔。显然，该算法也应该适用于更复杂的示例

更严格的测试可以是以下内容：给定[0,100]上间隔开始时间的均匀分布和[0,d]上长度的均匀分布，可以通过规则网格[0,d，2d，3d，…]计算出略低于0.5*n的预期切割次数。最佳解决方案应该更好：

n=10000
δ=1
开始=np.随机.均匀（低=0，高=99，大小=n）
长度=np.随机.均匀（低=0，高=1，尺寸=n）
rand_interval=np.array（[start，start+length]）.T
规则网格=np.arange（0,101,1）
最佳网格=乐趣（随机间隔）
#这将计算被其中一个点切割的间隔数
def切割（间隔、网格）：
箱子=np。数字化（间隔、网格）
返回和（箱子[：，0]！=箱子[：，1]）
切割（随机间隔、规则网格）
>>>4987#预计略低于0.5*n
assert cuts（rand\u interval，optimal\u grid）您可以通过动态规划来优化此问题，方法是维护一个数组
S[k]
，其中
S[k]
是最佳解决方案（覆盖最大的空间量），而
k
区间中有一个点。然后，您可以重复删除最低的
S[k]
，以所有可能的方式扩展它（将自己限制在间隔的相关端点加上
S[k]
+delta中的最后一点），并使用这些新的可能解决方案更新
S
。
当表中最低的
S[k]
覆盖整个范围时，您就完成了

使用pip中的
intervaltree
的Python 3解决方案：

从intervaltree导入间隔，intervaltree
def最佳_点（间隔，d，ε=1e-9）：
间隔=[间隔（lr[0]，lr[1]），用于间隔中的lr]
树=间隔树（间隔）
开始=分钟（iv.每隔一段时间开始iv）
停止=最大值（间隔中的iv结束）
#含有一个点的k区间的最佳部分解。
#我们还将包含这些点的间隔存储为一个集合。
sols={0:（[start]，set（））}
尽管如此：
最低k=min（sols.keys（））
s、 包含=sols.pop（最低值）
#打印（最低k，s[-1]），用于跟踪缓慢情况下的进度。
如果s[-1]>=停止：
返回s
相关间隔=树[s[-1]：s[-1]+d]
相关_点=[iv.begin-相关_间隔内的ivε]
相关_点+=[iv.end+相关_间隔内iv的ε]
如果s[-1]sols[新的k][0][1]：
sols[new_k]=（新的，包含新的）
如果迭代的范围和精度可行，我们可以首先合并并计算间隔。比如说,

[(0, 1), (0.5, 1.5), (0.5, 1.5)] ->
  [(0, 0.5, 1), (0.5, 1, 3), (1, 1.5, 2)]

现在让
f（n，k）
表示最优解，其中
k
在数字行上指向
n
。然后：

f(n, k) = min(
  num_intervals(n) + f(n - i, k - 1)
)

num_intervals(n) is known in O(1)
  from a pointer in the merged interval list.

n-i is not every precision point up to n. Rather, it's
every point not more than d back that marks a change
from one merged interval to the next as we move it
back from our current pointer in the merged-interval
list.

需要注意的一个问题是，我们需要为任何优化的
f（n，k）
存储最右点和上一点之间的距离。这是为了避免加入
f（n-i，k-1）
，其中最右边的第二个点距离当前
n
的距离小于
d
，从而使新的中间点
n-i
成为多余的，并使此解决方案无效。（我不确定我对这个问题考虑得不够透彻。也许有人能指出一些问题。）

我们怎么知道
k
足够高？考虑到最优解可能低于当前的
k
，我们假设重复出现会阻止我们根据上述段落中的想法找到实例：

0.......8
 ——— ———
 ——— ———
   ———
   ———
   ———
x x   x x
y   y   y

d = 4
merged list:
[(1, 3, 2), (3, 4, 5), (4, 5, 3), (5, 6, 5), (6, 8, 2)]

f(4, 2) = (3, 0) // (intersections, previous point)
f(8, 3) = (3, 4)

There are no valid solutions for f(8, 4) since the
break point we may consider between interval change
in the merged list is before the second-to-last
point in f(8, 3).

由于您的工厂类比，我假设间隔不重叠，因此我删除了我的答案。我相信添加一个图表将提高对问题的理解。添加了一个简单的ASCII artsy图表。希望这会有帮助。这看起来很有希望。尽管如此，有些事情并不像我期望的那样，请检查以下ex