Algorithm 完备图的最大加权配对算法 数学问题

假设有2n个人，并且

C（i，j）

让i和j一起工作的“成本”（函数

C

计算速度快，在我的例子中，它是一个给定的矩阵，并且是对称的）。问题是找到2n对人的安排，使每对人的成本之和最小化

这应该在多项式复杂度为n的情况下完成，并在Scilab语言中相对容易地实现（输入：成本矩阵，输出：配对，例如索引的n×2矩阵）。我知道“相对容易”是可以解释的

前期研究 这个问题实际上是通过Blossom算法解决的。例如，见

然而，这（及其变体）看起来像是一场噩梦。我真正的问题是n=20，所以尽管蛮力（尝试所有可能的配对）不好（蛮力强制n=8在我的电脑上花费了一个小时），但几乎任何比蛮力更好的方法都应该奏效；如果我能以一小时的计算为代价避免一周的编码，那我就完了

我一直在考虑在一个2n×2n数组上使用，用对称代价矩阵填充对角线

+%inf

和其他元素，然后从结果置换中选择一个相关的配对，但我找不到可靠的方法来做到这一点。（注意，匈牙利算法已经为一个单独的部分编码，因此您可以使用它，而不必为“易于实现”的要求付出代价。）

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我希望与blossom算法问题相比，图的完整性允许一些快捷方式。。。（编辑：请参见DE下面的评论，这是错误的，原因很明显）

我恐怕不知道Scilab，但如果您愿意使用Python，这很容易，因为提供了对该函数的支持：

import networkx as nx
import networkx.algorithms.matching as matching

def C(i,j):
    return i*j

n=40
G=nx.Graph()
for i in range(n):
    for j in range(n):
        G.add_edge(i,j,weight = -C(i,j))
M = matching.max_weight_matching(G,maxcardinality=True)
for i in M:
    print i,'with',M[i]

该代码在一秒钟内打印出答案

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函数C定义了i与j配对的成本。请注意，权重设置为-C（i，j）为了将最大权重匹配转换为最小权重匹配算法。

一般来说，G的完备性是不相关的，因为某些边可能具有高权重，特别是对于Blossom算法，因为它是一个原始-对偶算法，并在紧边子图上保持一般匹配。匈牙利算法适用于二部图。将不会有一个简单的修复程序让它处理一般的图形，因为LP奇循环约束非常复杂。谢谢你的指针。权重可以为负数吗？如果不允许为负数，你可以为所有权重添加一个固定的偏移量，使其为正数。我相信networkx实现确实支持负权重。