Algorithm 求矩阵行列式的最佳算法是什么？

谁能告诉我哪一种算法是求一个大小为

nxn

的矩阵的行列式值的最佳算法？

是一个广泛的讨论

有很多算法

一个简单的方法是采取行动。那么从

 det M = det LU = det L * det U

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而

L

和

U

都是三角形，行列式是

L

和

U

的对角线元素的乘积。这就是O（n^3）。还有更有效的算法。

如果你做了初步研究，你可能会发现，当N>=4时，矩阵行列式的计算变得相当复杂。关于算法，我想向您指出，特别是“算法实现”部分

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根据我自己的经验，您可以很容易地在现有的矩阵库（如）中找到LU或QR分解算法。不过，算法本身并不十分简单。

我对LU分解不太熟悉，但我知道为了得到L或U，需要使初始矩阵为三角形（U为上三角形，L为下三角形）。然而，一旦你得到某个nxn矩阵A的三角形形式的矩阵，并且假设你的代码使用的唯一操作是Rb-k*Ra，你就可以把det（A）=∏T（i，i）从i=0解到n（即，det（A）=T（0,0）x T（1,1）x…x T（n，n））来解三角矩阵T。检查这个链接，看看我在说什么

行缩减 求nxn矩阵行列式的最简单方法（实际上也是一种不错的方法）是行归约。记住一些关于行列式的简单规则，我们可以用以下形式求解：

det（A）=α*det（R），其中R是原始矩阵A的行梯队形式，α是一些系数

以行列形式求矩阵的行列式真的很容易；你只需要找到对角线的乘积。求解原始矩阵的行列式A，然后当您找到行梯队形式R时，就可以归结为计算α

你需要知道什么 排梯队形式是什么？ 有关简单的定义，请参见此
注意：并非所有定义的前导项都需要1s，此算法不需要1s

可以使用基本行操作查找R 交换行、添加另一行的倍数等

从行列式行操作的属性中导出α

如果B是一行a乘以某个非零常数ß得到的矩阵，则

det（B）=ß*det（A）

• 换句话说，你可以从行列式前面拉出一个常数，从一行中“算出”一个常数

如果B是通过交换两行a获得的矩阵，则

det（B）=-det（A）

• 如果交换行，请翻转标志

如果B是通过将a中的一行乘以另一行得到的矩阵，则

det（B）=det（A）

• 决定因素不变

注意，在大多数情况下，行列式只有规则3（我相信A的对角线没有零），在所有情况下，行列式只有规则2和3。规则1有助于人们在纸上做数学，尽量避免分数

例子 （我会采取不必要的步骤来更清楚地展示每一条规则）

| 2  3  3  1 |
A=| 0 4 3-3|
| 2 -1 -1 -3 |
| 0 -4 -3  2 |
R2 R3，-α->α（规则2）
| 2  3  3  1 |
-| 2 -1 -1 -3 |
| 0  4  3 -3 |
| 0 -4 -3  2 |
R2-R1->R2（规则3）
| 2  3  3  1 |
-| 0 -4 -4 -4 |
| 0  4  3 -3 |
| 0 -4 -3  2 |
R2/（-4）->R2，-4α->α（规则1）
| 2  3  3  1 |
4| 0  1  1  1 |
| 0  4  3 -3 |
| 0 -4 -3  2 |
R3-4R2->R3，R4+4R2->R4（规则3，应用两次）
| 2  3  3  1 |
4| 0  1  1  1 |
| 0  0 -1 -7 |
| 0  0  1  6 |
R4+R3->R3
| 2  3  3  1 |
4| 0  1  1  1 | = 4 ( 2 * 1 * -1 * -1 ) = 8
| 0  0 -1 -7 |
| 0  0  0 -1 |

除了尺寸之外，我们对矩阵了解更多吗。它是稀疏的吗？尽管这些答案与语言无关，所以我认为这是一个重复。矩阵算法非常复杂，所以你不应该自己实现它们；使用一个完善的库，如LAPACK。编写该库的人已经选择了行列式的最佳实现（可能是稠密矩阵的LU分解）。numpy使用什么算法？