Algorithm 如何计算此代码的时间复杂度？

如何计算以下算法的时间复杂度

int x =0;

      for (int i = 1; i < n; i++) {

        for (int j = 1; j < n; ++j) {
            x++;
            n--;
        }
    }

intx=0；
对于（int i=1；i

我知道嵌套for循环的时间复杂度等于最内层循环的执行次数

就像外部循环从1到n的每个嵌套循环一样，它应该运行n次，但是这里我们有

n--

，这使得算法运行的顺序更好。实际上，我在IDE中编写了这段代码，在循环结束后，我打印了x的最终结果，结果是不同的n值，我看到我们跳转到内部for循环需要将近n次的时间

所以我认为这个算法的整体顺序是O（n），但我不确定

谁能帮我彻底证明一下吗？

你说得对

n

减少的总次数不能超过其原始值（

i

和

j

从不为负值）

因为对于内部循环的每个迭代，

n

正好减少一次，这就为您提供了运行次数的上限，使您的代码

O（n）

---

您还可以看到，这是一个严格的界限，因为第一次运行内部循环时，当

i>=n

时，它将停止，这将在

~n/2

迭代后发生，同时给出

ω（n）

的下限。

如果您只希望时间复杂度为大O或大θ，让我们来计算上界和下界，这两种情况比较简单

考虑到

内部for循环

，

n

将在此时减少一半，或者

n

将在每次退出

内部for循环时变为
n/2
（您已经知道了，对，因为
j
一次增加1个单位，
n
一次减少1个单位，所以
j
和
n
将在
中间的n
或
n/2
处相遇）当我们不知道代码何时停止时，事情就变得复杂了，
n=？
，但我们知道
n>1

考虑以下代码（上限）：

intx=0；
对于（；n>1；）{
对于（int j=1；j

n
每次迭代将变为
n/2
，直到
n=1
，因此obove代码的复杂性将为
n/2+n/4+n/8+…+1=O（n）

下限更容易，假设
内部for循环
只运行1次迭代，代码完成，1次迭代给我们提供了
n/2
运算符。因此下限是
O（n）

=>总的来说，复杂性是
O（n）

我认为
上限-下限方法的关键是在代码中省略一些
复杂-难以计算-不清楚的变化变量
，并将其与原始变量进行比较
为什么不简单地用不同的大小对其进行分析？如果你是对的，这将给你一个很好的指标。当你确定后，开始尝试证明它。
int x =0;

      for (;n > 1;) {

        for (int j = 1; j < n; ++j) {
            x++;
            n--;
        }
    }