Algorithm 此算法的最坏情况运行时间（如何证明）？

我有一个我正在尝试实现的算法。我被要求确定一个描述其最坏运行时间的函数。作为输入，它需要一个长度一定的数组（我们称之为n）。那么它的作用是：

if (n==0){ return 0;}
else if(n==1){return A[0];}
else{
     return f(n-1)+f(n-2)
}

---

抱歉，如果我对实现细节有点疏漏，但在某种意义上，它与fibbanoci序列类似。我认为这个算法最糟糕的运行时间是t（n）=2^n，因为如果n很大，它将分解成两个单独的计算，然后再分解成两个，以此类推。我只是不知道如何正式证明这一点，让我们首先得到运行时的递归

T(0) = T(1) = 1

因为两者都只返回一个数字（一个是数组查找，但这也是常数时间）。对于

n>1

我们有

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 1

因为您计算了

f（n-1）

和

f（n-2）

并将两个结果相加。这与斐波那契序列本身的重现性几乎相同，

F（n）=F（n-1）+F（n-2）

，结果密切相关

 n | T(n) | F(n)
----------------
 0 |   1  |   0
 1 |   1  |   1
 2 |   3  |   1
 3 |   5  |   2
 4 |   9  |   3
 5 |  15  |   5
 6 |  25  |   8
 7 |  41  |  13
 8 |  67  |  21
 9 | 109  |  34
10 | 177  |  55
11 | 287  |  89

如果你看这些值，你会发现

T(n) = F(n+2) + F(n-1) - 1

如果你需要的话，可以用归纳法证明这一点

---

因为斐波那契序列的项由

F（n）=（φ^n-（1-φ）^n）给出/√5

，其中

φ=（1+√5） /2

，你可以看到你的

f

的复杂性也是

Θ（φ^n）

，就像斐波那契序列一样。这比

Θ（2^n）

好，但仍然是指数型的，因此使用这种方法的计算只适用于较小的

n

让我们首先得到运行时间的递归

T(0) = T(1) = 1

因为两者都只返回一个数字（一个是数组查找，但这也是常数时间）。对于

n>1

我们有

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 1

因为您计算了

f（n-1）

和

f（n-2）

并将两个结果相加。这与斐波那契序列本身的重现性几乎相同，

F（n）=F（n-1）+F（n-2）

，结果密切相关

 n | T(n) | F(n)
----------------
 0 |   1  |   0
 1 |   1  |   1
 2 |   3  |   1
 3 |   5  |   2
 4 |   9  |   3
 5 |  15  |   5
 6 |  25  |   8
 7 |  41  |  13
 8 |  67  |  21
 9 | 109  |  34
10 | 177  |  55
11 | 287  |  89

如果你看这些值，你会发现

T(n) = F(n+2) + F(n-1) - 1

如果你需要的话，可以用归纳法证明这一点

---

因为斐波那契序列的项由

F（n）=（φ^n-（1-φ）^n）给出/√5

，其中

φ=（1+√5） /2

，你可以看到你的

f

的复杂性也是

Θ（φ^n）

，就像斐波那契序列一样。这比

Θ（2^n）

好，但仍然是指数型的，因此使用这种方法的计算只适用于较小的

n

参见谢谢。然而，我想找一点解释，说明你是如何准确地确定这些事情的。我环顾四周，但人们似乎只是开始在没有好的解释的情况下到处乱扔符号和答案。我对这整件事有点陌生，没有快速的答案。为了证明您的结果，您需要了解算法复杂性上下文中的递归关系。关于我链接的问题的公认答案链接到了一个解释它的页面：（参见标题“重复关系”和其他）根据代码显示，没有最坏的情况，您只使用[0]，无论n的值是多少。。。给我们看更多谢谢。然而，我想找一点解释，说明你是如何准确地确定这些事情的。我环顾四周，但人们似乎只是开始在没有好的解释的情况下到处乱扔符号和答案。我对这整件事有点陌生，没有快速的答案。为了证明您的结果，您需要了解算法复杂性上下文中的递归关系。关于我链接的问题的公认答案链接到了一个解释它的页面：（参见标题“重复关系”和其他）根据代码显示，没有最坏的情况，您只使用[0]，无论n的值是多少。。。告诉我们更多如果[0]==1OP定义不正是斐波那契序列的定义吗？斐波那契计算也添加了这两个子案例。那么为什么会有差异呢？上一次返回中的确切代码略有不同，但复杂程度相同。这只是与其他数组元素的比较。@WillNess无论

a[0]

是什么，序列都将是

a[0]*F（n）

，因此，用朴素的方法计算它的复杂性正是用朴素的方法计算它的复杂性。计算成本

F（n）

这种简单的方法通常被称为

nfib（n）

，可以用上面的斐波那契数来表示；我已编辑以澄清这句话，并对打扰表示歉意。：）@意志力是的，我想对于那些不能读懂我的思想的人来说，这更清楚了，谢谢。如果

A[0]==1

OP的定义不正是斐波那契序列的定义吗？斐波那契计算也添加了这两个子案例。那么为什么会有差异呢？上一次返回中的确切代码略有不同，但复杂程度相同。这只是与其他数组元素的比较。@WillNess无论

a[0]

是什么，序列都将是

a[0]*F（n）

，因此，用朴素的方法计算它的复杂性正是用朴素的方法计算它的复杂性。计算成本

F（n）

这种简单的方法通常被称为

nfib（n）

，可以用上面的斐波那契数来表示；我已编辑以澄清这句话，并对打扰表示歉意。：）@是的，我想这对那些不能读懂我心思的人来说更清楚了，谢谢。