Algorithm 计算直线是否与凸多边形相交的渐近最优算法

检测直线是否与凸多边形相交的O（n）算法包括检查多边形的任何边是否与直线相交，并查看相交数是奇数还是偶数

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是否有一种渐进更快的算法，例如O（logn）1？

边界框可能被证明是有用的

回想一下，仿射空间的凸面部分是其所有包络超平面的交点：您可以通过仅考虑包络超平面子集的交点来获得多边形的近似值（请阅读“边界凸面多边形”），测试直线与该近似值的交点，并在必要时进行细化

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如果您希望交叉口数量较少，则所有这些都会更好。

您只需找到一个位于直线左侧的点a和另一个位于右侧的点。剩下的问题是如何快速找到这些点。

从凸多边形中随机选取两点a和B

• 如果它们位于直线的另一侧，则它们相交
• 如果它们在同一侧，则在两个多边形部分（如顺时针AB和BA）上执行：
  
  • 创建一条与穿过a的线l平行的线
    
  • 在多边形上找到距l最大距离处的点，这与在函数中找到最大值相同，该函数先单调非减，然后单调非增。这可以通过三元搜索在O（logn）中完成

如果这两个最远的点位于直线的另一侧，则直线与多边形相交，否则不相交

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顺便说一句，你也可以在O（logn）中找到实际的交点。
lhf的答案几乎是正确的。这是一个版本，可以解决他的问题

让多边形具有逆时针顺序的顶点v0、v1、…、vn。让点x0和x1在直线上

注意两件事：首先，可以在恒定时间内找到两条线的交点（并确定其存在性）。第二，确定一个点是在直线的左侧还是右侧可以在固定时间内完成

我们将遵循lhf的相同基本思想得到一个O（logn）算法。基本情况是当多边形有2个或3个顶点时。这两者都可以在固定时间内处理

确定直线（v0，v（n/2））是否与直线（x0，x1）相交

案例1：它们不相交。

在这种情况下，我们感兴趣的直线在分割多边形的直线的左侧或右侧，因此我们可以递归到该多边形的那一半。具体地说，如果x0在（v0，v（n/2））的左侧，那么右“一半”{v0，v1，…v（n/2）}中的所有顶点都在（x0，x1）的同一侧，因此我们知道多边形的“一半”中没有交点

案例2：它们确实相交。

这种情况有点棘手，但我们仍然可以在恒定时间内将交点缩小到多边形的“一半”。共有3个子类别：

情况2.1：交点在点v0和v（n/2）之间

我们完了。这条线与多边形相交

案例2.2：交叉点更靠近v0（即v0侧多边形的外侧）

确定直线（x0，x1）是否与直线（v0，v1）相交

如果没有，那么我们就完成了，这条线不与多边形相交

如果有，找到十字路口，p。如果p在直线（v0，v（n/2））的右侧，则递归到多边形的右“一半”{v0，v1，…，v（n/2）}，否则递归到左“一半”{v0，v（n/2），…vn}

这种情况下的基本思想是多边形中的所有点都位于直线的一侧（v0，v1）。如果（x0，x1）在其与（v0，v（n/2））相交的一侧偏离（v0，v1）。我们知道，在那一边，不可能与多边形相交

案例2.3：交叉点更靠近v（n/2）

这种情况的处理类似于情况2.2，但使用适当的v（n/2）邻居

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我们完了。对于每个标高，这需要两个直线交点、一个左右检查，并确定点在直线上的位置。每个递归将顶点数除以2（技术上至少除以4/3）。所以我们得到了一个O（logn）的运行时。

我认为给出了一个清晰的O（logn）解决方案。在垂直于给定直线的方向上找出极值。

该算法无效。1） 顶点AB和BA的序列可能对三元搜索无效。2） 在这些多段线上具有与l的最大距离的点并不保证这些点位于所研究线的对边上。即使当直线穿过多边形时，距离也不应为绝对距离（因此一侧为负，另一侧为正），或者对于一侧，l穿过A，另一侧穿过B。非绝对距离会有所帮助，但并非所有情况下都如此。看见CW顺序的A->B对于三元搜索无效，因为它是递增、递减和最终递增的。@创建一条与经过A的线l平行的线：如果B在这条线上，则此算法失败…@pouncep:不，这不是问题。请澄清多边形的左/右半部分是什么。假设顺序为CCW，使用术语v0->vk或vk->v0可能更好。每次我说左/右半部分我都会澄清，我列出了那半部分的顶点。具体来说，左半部分是不在直线（v0，v（n/2）），{v0，v1，…，v（n/2）}右侧的顶点。我使用术语“不在右边”，因为它是直线左边的顶点集加上直线上的顶点集。+1，直到我找到一个相反的例子。注：我认为澄清是错误的。按逆时针顺序，右半部分为v0->v（n/2）。如何选择x0和x1？我的意思是，如果我们选择x0和x1在多边形之外，那么相交