Algorithm 格雷码算法（32位或更少）

我最近遇到了格雷码，我一直在努力研究将格雷码转换回二进制（32位或更少）的高效算法

这就是我说的代码。下面是我的问题：

• 此代码与正常代码（右移1和XOR，直到

  mask==0

  ）之间有什么区别
• 为什么专门使用16、8、4、2、1而不是任何其他小于32位的数字
• 如果我们按照以下相反的方式进行操作，会有什么区别：

  num = num ^ (num >> 1);
  num = num ^ (num >> 2);
  num = num ^ (num >> 4);
  num = num ^ (num >> 8);
  num = num ^ (num >> 16);
  

  我试过这个，似乎也能得到同样的结果

例如，以位为单位（以8为例）
那么，如果我们应用

x^=x>>1

，会发生什么呢？我们明白了

h g f^h e^g d^f c^e b^d a^c

这看起来像是我们开始时所做的，就好像它是由

x^（x>>2）

而不是

x^（x>>1）

所做的，所以同样的想法是，只需移动2次即可反转：

h g f e d^h c^g b^f a^e

看起来不错，现在很明显为什么

x^=x>>4

会完全恢复正常。对于更多位，相同的模式只会持续一段时间
另一种方法是暂时反转位，将“变灰”变成

x⊗ 3带有
⊗
在GF（2k）中是乘法，在GF（2k）中奇数乘法是可逆的，3的乘法逆是“所有位集”，您可以发现如下：


从y=3和临时反向开始
通过将
y
中的第一位（不是lsb）与3异或，将其杀死，并将相应的位设置为相反的值
循环直到
y=1

因此，第一步是
y=3，i=1
，
y=5，i=3
，
y=9，i=7
等等，直到您在
i
中设置所有位，让我们调用最后的
i
inv

然后我们有
（x⊗ 3) ⊗ inv=x⊗ (3 ⊗ inv）=x⊗ 1=x

乘以“all bits set”意味着每一位最终都是其自身和所有低位的异或，这是可以使用的

x ^= x << 1
x ^= x << 2
x ^= x << 4
...

课程的最终结果是
（（x⊗ 3) ⊗ 5) ⊗ 17=x⊗ (3 ⊗ 5.⊗ 17） =x⊗ 127

GF（2k）中的乘法非常好而且是可交换的，所以它可以在任何顺序下很好地完成

其他号码呢
当然可以，只要他们的产品是
inv
。但所有其他选择都会导致恼人的/许多被乘数出现。例如，我们可能希望9是一个因子，那么剩下的是199，可以分解为9⊗ 63，依此类推，但这会持续一段时间，直到你有3，5，9，9，17，65，这太可怕了（注意9⊗ 9⊗ 65=1如果有8位，那么就把它踢出去，回到原来的3，5，17）。不过，这是可能的。
我尝试了[reverse]，似乎也得到了同样的结果。
你能证明这一点吗<代码>与[basic algorithm]（右移1…）的[shift by Power of 2]有什么区别？请尝试较小的示例。感谢您的回答，我听说1->2->4->8->16与并行前缀计算有关，并行前缀操作在这里扮演什么角色？@EidolonMK当他们以并行方式计算累积值时，这就是他们所说的，所以这里我们有前缀XOR，并用位级并行计算它有趣的事实：灰色->二进制解码可以用一次无卡利乘法完成，根据-对于
\u m128i vx
底部的32位int，
\u mm\u clmulepi64\u si128（vx，\u mm\u set\u epi32（0,0,1，-2），0）
在低qword-
\u mm\u extract\u epi32（prod，1）
的上半部分生成结果。
h g f e d^h c^g b^f a^e

x ^= x << 1
x ^= x << 2
x ^= x << 4
...

x = x ⊗ 3
x = x ⊗ 5
x = x ⊗ 17
...