Algorithm 在三维运动目标上发射射弹（直线弹道）

我已经在谷歌上搜索了这个问题，但只找到了二维解或对我不起作用的公式（发现这个公式看起来不错，但似乎不正确）

我已提出：

Vec3 cannonPos;
Vec3 targetPos;
Vec3 targetVelocityVec;
float bulletSpeed;

我要找的是时间

targetPos+t*targetVelocityVec

是大炮瞄准和射击的交叉点

我在寻找一个简单、便宜的t公式（简单的意思是不要做很多不必要的向量空间变换等等）

---

谢谢

真正的问题是找出子弹在空间中与目标路径相交的位置。子弹的速度是恒定的，所以在一定的时间内，无论我们朝哪个方向发射，它都会移动相同的距离。这意味着它在时间t之后的位置将始终位于球体上。这是一个丑陋的2d插图：

该球体可以用数学表示为：

(x-x_b0)^2 + (y-y_b0)^2 + (z-z_b0)^2 = (bulletSpeed * t)^2      (eq 1)

x_b0、y_b0和z_b0表示加农炮的位置。您可以通过使用问题中提供的方程求解该方程来计算时间t：

targetPos+t*targetVelocityVec                                   (eq 2)

（等式2）

是一个向量方程，可分解为三个单独的方程：

x = x_t0 + t * v_x
y = y_t0 + t * v_y
z = z_t0 + t * v_z

这三个方程式可插入

（等式1）

：

该方程仅包含已知变量，可求解t。通过将二次子表达式的常数部分指定给常数，我们可以简化计算：

c_1 = x_t0 - x_b0
c_2 = y_t0 - y_b0
c_3 = z_t0 - z_b0
(v_b = bulletSpeed)

(t * v_x + c_1)^2 + (t * v_y + c_2)^2 + (t * v_z + c_3)^2 = (v_b * t)^2

将其重新排列为标准的二次方程：

(v_x^2+v_y^2+v_z^2-v_b^2)t^2 + 2*(v_x*c_1+v_y*c_2+v_z*c_3)t + (c_1^2+c_2^2+c_3^2) = 0

这很容易用标准公式解决。它可能导致零、一或两个解决方案。零解（不计算复杂解）意味着子弹不可能到达目标。当目标轨迹与球体的边缘相交时，一种解决方案可能很少出现。两种解决方案将是最常见的场景。消极的解决方案意味着你不能击中目标，因为你需要把子弹射到过去。这些都是你必须检查的条件

当你解出这个方程时，你可以通过把它放回

（等式2）

来找到t的位置。在伪代码中：

# setup all needed variables
c_1 = x_t0 - x_b0
c_2 = y_t0 - y_b0
c_3 = z_t0 - z_b0
v_b = bulletSpeed
# ... and so on

a = v_x^2+v_y^2+v_z^2-v_b^2
b = 2*(v_x*c_1+v_y*c_2+v_z*c_3)
c = c_1^2+c_2^2+c_3^2

if b^2 < 4*a*c:
    # no real solutions
    raise error

p = -b/(2*a)
q = sqrt(b^2 - 4*a*c)/(2*a)

t1 = p-q
t2 = p+q

if t1 < 0 and t2 < 0:
    # no positive solutions, all possible trajectories are in the past
    raise error

# we want to hit it at the earliest possible time
if t1 > t2: t = t2
else: t = t1

# calculate point of collision
x = x_t0 + t * v_x
y = y_t0 + t * v_y
z = z_t0 + t * v_z

#设置所有需要的变量
c_1=x_t0-x_b0
c_2=y_t0-y_b0
c_3=z_t0-z_b0
v_b=速度
# ... 等等
a=v_x^2+v_y^2+v_z^2-v_b^2
b=2*（v_x*c_1+v_y*c_2+v_z*c_3）
c=c_1^2+c_2^2+c_3^2
如果b^2<4*a*c：
#没有真正的解决办法
提出错误
p=-b/（2*a）
q=sqrt（b^2-4*a*c）/（2*a）
t1=p-q
t2=p+q
如果t1<0且t2<0：
#没有积极的解决方案，所有可能的轨迹都在过去
提出错误
#我们想尽早完成
如果t1>t2:t=t2
其他：t=t1
#计算碰撞点
x=x_t0+t*v_x
y=y_t0+t*v_y
z=z_t0+t*v_z

从技术上讲，不是“在过去发射加农炮”，而是在负

t

的情况下发射加农炮到过去

如果t1*t2>0

：如果两种解决方案都是正的，则可能会发生这种情况，因此在没有实际检查符号（或者说明为什么t1和t2不能都是正的，如果不能）。如果t1<0和t2<0，我个人会使用

。@mokus，我不知道我在想什么。谢谢。我想你最近可能写了太多的根查找算法；）@EmilH-我理解代码的一般流程，但是你能更好地解释示例代码的方程式吗？比如数学上做了什么，为什么？我不太明白
a
、
b
、
c
、
p
和
q
变量是什么；而且，尽管我认为我已经解决了其余大部分问题，但也不太容易理解。考虑到抛射体沿着直线轨道飞行，这个问题就变得很无趣：-(
# setup all needed variables
c_1 = x_t0 - x_b0
c_2 = y_t0 - y_b0
c_3 = z_t0 - z_b0
v_b = bulletSpeed
# ... and so on

a = v_x^2+v_y^2+v_z^2-v_b^2
b = 2*(v_x*c_1+v_y*c_2+v_z*c_3)
c = c_1^2+c_2^2+c_3^2

if b^2 < 4*a*c:
    # no real solutions
    raise error

p = -b/(2*a)
q = sqrt(b^2 - 4*a*c)/(2*a)

t1 = p-q
t2 = p+q

if t1 < 0 and t2 < 0:
    # no positive solutions, all possible trajectories are in the past
    raise error

# we want to hit it at the earliest possible time
if t1 > t2: t = t2
else: t = t1

# calculate point of collision
x = x_t0 + t * v_x
y = y_t0 + t * v_y
z = z_t0 + t * v_z