Algorithm 区间的覆盖并集

我正试图实现一个问题的解决方案，这个问题归结为区间覆盖。 通过谷歌搜索，我知道这通常是用贪婪的方法解决的，但我自己的第一个想法是使用广度优先搜索。我开始假设区间的并集是一个区间，并且所有区间都是闭合的。问题是：

给定k个闭区间，找到一个元素尽可能少的子集 可能的情况是，从原始集合开始的间隔中的每个点 在找到的子集的某个时间间隔内

我的想法是在一个图中工作，其中间隔是顶点和两个顶点 如果相应的间隔重叠，则形成无向边。在特殊情况下 如果并集是一个间隔，我可以选择包含终点和起点的节点 具有最大长度，然后在这些最小长度之间有一条路径是最佳解决方案。

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我的问题是：如何高效地构建区间图，以避免查看每对区间。我尝试了不同的时间间隔排序方法，但似乎仍然无法摆脱二次时间。

我认为在最坏的情况下，你无法摆脱二次时间。这是因为边的数量可能是二次的

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但是这里不需要普通的最短路径算法（比如Dijkstra）。从第一个间隔开始（起点最低的间隔）。然后选择一个间隔，该间隔在该间隔之后开始，且其终点最高。重复以上步骤直到结束。

据我所知，我回答这个问题是因为之前的条目回答不正确或不完整

有一种算法在O（N log N）上运行，其中N是闭合段的数量：

以升序将线段按左端排序，通过优先考虑右端最大的线段来断开连接（断开连接实际上并不重要）

从“左到右”应用贪婪策略：

2.1在不缺少点的情况下，强制选择左端最大的线段

2.2如果缺少一点，则没有解决方案

2.3否则，请转至2.1

步骤1的时间复杂度为O（N logn），步骤2的时间复杂度为O（N）。因此，这种贪婪算法需要O（N logn）时间

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希望这有帮助

带有两个集合（开始/结束）且指针指向同一边缘的变体是否没有为您带来正确的性能？我希望我不必首先构建完整的图形。如果可以避免预构建，我认为广度优先的解决方案更简单，因为它更容易证明正确性。只有在被迫休息时才休息。以取一为条件，尽可能远。好吧，也许你可以写出证明？我认为贪婪不起作用，因为不管是省略的区间集还是取的区间集，都必须定义拟阵。我可以很容易地证明，省略的间隔集不是。贪婪可能会找到一个好的解决方案，但不是最优的。也许有人能计算出竞争力。