Algorithm 谷歌代码堵塞2008：第1A轮问题3

在谷歌代码堵塞2008年第1A轮中：

计算前三位数字 数字的小数点 （3+sqrt（5））^n

n可以是最大1000000的大数字。
例如：如果n=2，那么（3+sqrt（5））^2=27.4164079。。。答案是027。
对于n=3：（3+sqrt（5））^3=3935.73982。。。答案是935

解决方案之一是创建矩阵M 2x2:[[0,1]，-4,6]]，然后计算矩阵p=M^n，其中计算由模1000执行。 结果是

（6*P[0,0]+28*P[0,1]-1）

mod 1000

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谁能给我解释这个解决方案？

我不知道如何解释，但问题的作者已经撰写了。

我将提出一种解决这个问题的方法，甚至不理解解决方案

假设您熟悉斐波那契数：

ghci> let fib = 0 : 1 : zipWith (+) fib (tail fib)
ghci> take 16 fib
[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610]

并熟悉其闭式表达式：

ghci> let calcFib i = round (((1 + sqrt 5) / 2) ^ i / sqrt 5)
ghci> map calcFib [0..15]
[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610]

你会注意到（（1+sqrt 5）/2）n和（3+sqrt 5）n的相似性

从这里我们可以猜测，可能有一个类似于斐波那契的数列来计算这个

但是什么系列？因此，您计算前几个项目：

ghci> let calcThing i = floor ((3 + sqrt 5) ^ i)
ghci> map calcThing [0..5]
[1,5,27,143,751,3935]

猜测公式的形式为：

thingn=a*thingn-1+b*thingn-2

我们有：

27=a*5+b*1

143=a*27+b*5

我们求解线性方程组，得到：

thingn=4*thingn-1+7*thingn-2（a=4，b=7）

我们检查：

ghci> let thing = 1 : 5 : zipWith (+) (map (* 4) (tail thing)) (map (* 7) thing)
ghci> take 10 thing
[1,5,27,143,761,4045,21507,114343,607921,3232085]
ghci> map calcThing [0..9]
[1,5,27,143,751,3935,20607,107903,564991,2958335]

然后我们发现遗憾的是，这并没有计算我们的函数。但后来我们为它得到了最正确的数字而欢呼。我们不明白为什么，但受到这一事实的鼓舞，我们试图做一些类似的事情。要查找修改公式的参数，请执行以下操作：

thingn=a*thingn-1+b*thingn-2+c

然后我们得出：

thingn=6*thingn-1-4*thingn-2+1

我们检查它：

ghci> let thing =
        1 : 5 : map (+1) (zipWith (+)
          (map (*6) (tail thing))
          (map (* negate 4) thing))
ghci> take 16 thing == map calcThing [0..15]
True

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只想回答一个非常古老的问题：

多亏了你，我有了重读维基百科页面上的证明的想法。虽然不是很清楚，但我们可以用它

我们在wikipedia页面上看到一个带有“取整计算”的封闭形式：Fn=⌊φ/√5.⌋N 如果我们能换个新的/√五加三√5（称后者为x）。我们可以相当容易地计算xn的底，特别是mod 1000，通过在我们新构造的序列中找到第n项（这是F的类比子（稍后我们称之为类比子U））

我们要找的序列是什么？好吧，我们试着按照比奈公式的证明来做。我们需要一个以x为根的二次方程。假设x2=6x-4这个有根x和y:=3-√5.现在方便的部分是：

定义Un（针对每个a和b），如下所示：

Un=a xn+b yn

根据x和y的定义，你可以看到

Un=6 Un-1-4 Un-2

现在我们可以自由选择a和b。我们需要Un是整数，所以我建议选择a=b=1。现在是U0=2，U1=6，U2=28

我们仍然需要进行“四舍五入计算”。可以看到，对于每n，yn<1（因为y≅ 0.76<1）so Un=xn+yn=⌈xn⌉.

如果我们能计算Un，我们就能找到⌊xn⌋, 只要减去1

我们可以通过它的递归公式计算Un，但这需要O（n）计算时间。我们可以做得更好

为了计算这种递归公式，我们可以使用矩阵：

⌈ 0 1⌉ ⌈ U(n-1) ⌉     ⌈ U(n) ⌉
⌊-4 6⌋ ⌊  U(n)  ⌋  =  ⌊U(n+1)⌋

称这个矩阵为M。现在M*（U（1），U（2））计算（U（2），U（3））。 现在我们可以计算P=Mn-1（注意，我使用的是小于n的一个，如果你测试小情况，你可以看到这是正确的：n=0，n=1，n=2）P*（6,28）现在给出了序列的第n项和第（n+1）项，所以：

（p*（6,28））0-1=⌊xn⌋

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现在我们可以把所有的东西都改为mod 1000（这简化了计算（很多）），我们在计算时间O（log（n））（或者更好地利用矩阵幂的计算奇迹（在循环有限域上））。我想这就解释了这个看起来很奇怪的解决方案。

如果你证明自己至少尝试过某种解决方案，你会发现这个网站上的用户会更愿意提供帮助……我们不是来为你编写代码的（尤其不是为你解决代码阻塞问题）。对于编程竞赛问题的一般帮助，你可以i）阅读官方的竞赛分析（如果有），ii）使用竞赛/裁判自己的论坛询问问题。我不是说你不应该在SO发帖，而是说你更有可能在那里很快得到一个有意义的答案。这一问题在官方的谷歌集团中尤其引起了数页的讨论。