Algorithm 树搜索算法：如何快速确定A是否有必胜策略

原来的问题是这样的：有99块石头，A和B在玩一个游戏，每个人轮流拿一些石头，每个回合只能拿1、2、4或6块石头，拿最后一块石头的人获胜。如果A是第一个拿石头的人，A在第一轮应该拿多少石头

这似乎是一个相当复杂的树搜索测验，列出所有的树枝，然后自下而上地进行：叶子上的一块石头被标记为“赢”；对于中间节点，无论B采取何种策略，如果A始终有办法到达标记为“赢”的节点，则该节点也标记为“赢”

但这种方法相当耗时。是否有任何智能算法可以检查A是否有“保证获胜”策略？

O（n）解决方案

如果我们从1、2、4或6块石头开始，A总是会赢，因为他会在第一步就把它们全部拿走

如果我们从3开始，

A

无论做什么都会输，因为无论他拿1还是2，

B

下一个拿2还是1，都会赢

如果我们从5开始，

A

将首先获得2，从而将

B

发送到上面的案例中，他从3块石头开始

如果我们从7开始，

A

将以

4

获胜，将

B

发送到与

3

相同的案例

如果我们从8开始，

A

无论他做什么都会失败：无论他拿什么，他都会把

B

送到胜利的位置

如果我们从9开始，

A

可以取1，然后将

B

发送到有8的情况，导致他失败

如果我们从10开始，

A

可以取2，然后将

B

再次发送到8的情况，导致他失败

到目前为止，您应该非常清楚如何以增量方式构建一个

O（n）

解决方案：如果第一个移动的人可以赢得我的石头，那么让

win[i]=true

我们有：

win[1] = win[2] = win[4] = win[5] = win[6] = true, win[3] = false
win[x > 6] = not (win[x - 6] and win[x - 4] and win[x - 2] and win[x - 1])

例如：

win[7] = not (win[1] and win[3] and win[5] and win[6])
       = not (true and false and true and true)
       = not false
       = true

计算这个直到你感兴趣的数字，就这样。没有涉及树木

O（1）解决方案

通过仔细观察上述解决方案，我们可以得出一个简单的常数时间解决方案：注意，
a
只有在他将
B
发送到获胜位置时才会失败，无论他做什么，因此如果
k-6、k-4、k-2、k-1
都是获胜位置

如果您为几个值计算
win
，则模式变得明显：

win[k] = false if k = 3, 8, 11, 16, 19, 24, 27, 32...
=> win[k] = false iff k mod 8 == 3 or k mod 8 == 0

对于99，
99 mod 8=3
，因此
A
没有确定的获胜策略。
好的，我们可以看到：

每转一圈，可以取的石头数小于7，因此结果应与模数7相关

所以，对于n<1000，我已经打印出了第一人称获胜的石头数量顺序，模数7，这是一个真正重复的循环

1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 0 2 3 5 6 0 1 3 4 6 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 0 2 3 4 5 

此循环的长度为56，因此可以通过查找前56个数字的结果在O（1）中解决问题。
问题标题应具有信息性。@sashoalm编辑，现在可以了吗？这个游戏也被称为Nim-google，我认为它有点不同：Nim游戏允许玩家使用少于一个数字的某些石头，但这个游戏只允许1、2、4和6。会有什么不同吗？@500 InternalServerError-这不完全是尼姆。如果你说它可以简化为Nim，我不认为这是显而易见的。我认为我发现了一个更有用的序列（答案如下），循环的长度是56，除以8。出于好奇，你怎么能想出数字8？@PhamTrung-我注意到当
k mod 8=0
时，
win[k]=false
，但在其他情况下也是如此。然后我注意到这些情况只发生在
k mod 8=3
时，所以我将两者结合起来。不过我不会说这更有用：你必须找到一个完整的序列，而不仅仅是取一个模。