Algorithm 二进制搜索与一次固定一个数字

问题：我想搜索一个实数

x0

，这样

f（x0）=0

。我们只知道，

f

是单调递增的，没有导数，

x_0

是实正数，但不是非常大，因此程序不会终止

当我没有参加算法课程时，我为此编写了一个程序，让我们将此方法称为

替代搜索

方法是初始化步长

h

并从左侧递增。如果

f（x_0）>0

，则从现在开始后退，并按

h/10

递增。换句话说，一次固定一个数字，当步长非常小时终止

这种方法与二进制搜索（或有人称之为二分法）相比如何

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我的直觉告诉我，每次

另类搜索

解决问题的十分之一比一半要慢。应该是对的，是吗？

如果您只对眼前问题的答案感兴趣，请跳到第二部分。
在第一节中，我将解释如何在您的案例中实际使用二进制搜索

二进制搜索 首先，这个问题不能仅仅通过二进制搜索来解决，因为你需要一个区间[a，b]，在这个区间内你的解x*和f（x*）=0。 例如，可以使用指数搜索算法找到这样的间隔：

• 从值x0开始，使f（x）<0
• 只要f（x）<0，将x乘以2（或另一个固定因子>1）

这样，您的算法在最多log2（x*/x0）步之后终止，其值x为f（x）<0且f（2x）>0。因此，我们可以在二进制搜索中使用这个区间[x，2x]

此外，如果解x*是实数，则二进制搜索通常不能给出精确解，只能给出具有任意精度的近似值（更具体地说是区间），因为实数可以有无限多个数字。实际上，计算机的精度有限，因此算法总是终止的

在二进制搜索算法中，不是在当前间隔的中点是正确的解时终止，而是在当前间隔的长度低于所需精度时终止

由于间隔的长度随每一步减半，如果开始间隔的长度为L，且要求的精度为e，则算法在log2（L/e）步后终止

当我们将这些算法结合在一起时，总体解决方案是

使用指数搜索查找包含x*的区间[a，b]

使用二进制搜索查找[a，b]中x*的近似值

正如我们所知，指数搜索[x，2x]返回的区间包含x*，整个算法采用log2（x*/x0）+log2（x/e）步数，约为log2（x*²/（e x0）），

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因为X只是考虑在两种情况下，你经常评估<代码> f>代码>以使间隔缩小到大致相同的大小。