Algorithm 查找和介于1和2之间的对

给定n正实数时，任务是对以下问题给出是或否的答案：

---

“是否存在一对数字x和y，使得1只有0和2之间的数字才有助于参与赢家配对。其他数字可以忽略。”

每个这样的数字

x

都可以从

1-x

和

2-x

之间的列表中创建一个额外的数字对。 在浏览列表时计算并维护可接受的边界。在任何给定时间，可接受的下一个值的间隔不能超过两个，因为所有可接受的下一个值的间隔都包含在-1和2之间，且宽度为1。因此，完成一对的可接受下一个值可以用常量表示空间

当列表中出现的数字在最多两个可接受的下一个值的间隔内时，请回答“是”。如果到达列表末尾时没有遇到这种情况，请回答“否”

示例：0.1、0.5、2.0

• 启动时，可以显示并完成一对的值集为空集

• 在读取0.1之后，如果现在出现，则完成一对的值集为[0.9,1.9]

• 0.5不属于可以完成一对的值集。但是，读取后，[0.5,1.5]中的值可以完成一对。因为我们已经有了集合[0.9,1.9]，可以完成一对的新值集是[0.5,1.9]

• 2.0不属于可以完成一对的值集。但是，我们现在可以读取[-1，0]中的任何值来完成一对。此后，可以读取以完成一对的新值集是[-1，0]∪ [0.5,1.9]

• 等等…

---

我喜欢Pascal Cuoq的算法解决这个问题，我认为这是一个很好且优雅的解决方案。我想在这里发布一种不同的方法，从稍微不同的角度来看待这个解决方案

首先，这里是算法：

对输入进行一次遍历，并跟踪以下内容：1到2之间的最小数字、小于1的最小数字、小于1/2的最大数字以及1/2到1之间的数字

如果介于1和2之间的最小数字与小于1的最小数字之和小于2，则输出YES

否则，如果在1/2和1之间至少有两个数字，则输出YES

否则，如果1/2和1之间没有数字，则输出no

否则，如果数组中小于1/2的最大数与介于1/2和1之间的唯一数之和大于1，则输出YES

否则，输出NO

这是一个证明。正如帕斯卡所指出的，我们只关心[0,2]范围内的数字；这个范围之外的任何东西都不能是1到2之间的总和的一部分。我们可以做一个案例分析来思考总和中可能的数字

首先，其中一个数字可能在范围（1，2）内。此范围内不能有两个数字，因此另一个数字必须在范围[0，1]内。在这种情况下，我们可以取范围[0，1]内的最小数字，然后查看将其与范围（1，2）内的最小数字相加时会发生什么情况：如果它们的总和在1和2之间，则我们完成了；否则，涉及范围（1，2）内的数字的总和不能成为总和的一部分

否则，求和必须完全由[0，1]范围内的数字组成。请注意，至少有一个数字必须在[1/2，1]范围内，因为否则它们的和不能至少为1。还要注意，此范围内任何两个数字的和永远不会超过2。在这种情况下，如果[1/2，1]范围内有两个数字，它们的和满足条件，我们完成了。如果[1/2，1]范围内有0个数字，则没有解决方案。否则，我们可以尝试将[0，1/2]范围内的最大数字与[1/2，1]范围内的一个数字相加，看看和是否至少为1。如果答案为是，则我们得到了一对；如果不是，则答案为否

我当然更喜欢Pascal的算法而不是这个，但我想我会发布这个来展示如何在这里使用案例分析

---

希望这有帮助！

实数是保证非负数，还是可以同时有正数和负数？只有正数。散列所有数字，并检查每个数字是否存在1-x或-x或2-x。我想这可能是重复的，因为我记得在堆栈交换的其他地方读过这个问题的答案。我更喜欢如果我能找到它的副本，就不回答这个问题，但我似乎找不到原始的。我想同样的解决方案也可以扩展到这种情况，将（0,1]作为一个范围，将（1,2）作为一个范围我们不能有第二个范围内的两个数字。我们可以有第一个范围内的一个数字和第二个范围内的一个数字。第一个范围内的两个数字也是可能的。希望这能有所帮助。@BhootI不知道为什么这在线性时间和恒定空间内有效。你能详细说明吗？@templatetypedef在值列表上只有一个线性传递。在每一步，该算法测试新值是否可用于完成一对（恒定时间）并将新值合并到下一步开始的可接受值表示中，这也需要恒定的时间。完成一对可接受值集的最复杂表示形式为两个间隔，占用恒定的空间。请注意，如问题主体中所述，该问题只需要“是或否”回答。@templatetypedef但是，也可以在恒定的空间和线性时间内生成获胜的一对。当找到该对的第二个值

y

时，第一个值已被忘记，就足以再次扫描列表以查找它（即，查找一个数字

x

，以便

1≤ x+y≤ 2.