Algorithm 两个代码片段的大O表示法

我有两段代码，并解释了它们属于哪个大O类。然而，尽管我可能会尝试，但我无法将解释与我通过查看或进行样本运行得出的结果相吻合

第一：

long count = 0;
long n = 1000;
long i, j, k;
    for(i = 0; i < n; i++) 
        for (j = 0; j < i * i; j++) 
            for (k = 0; k < j; k++) 
                count++;

long count=0；
长n=1000；
长i，j，k；
对于（i=0；i

这个例子一直给我N^4，但我得到的答案是“j可以和I^2一样大，也可以和N^2一样大。k可以和j一样大，也就是N^2。因此，运行时间与N^N^2^N^2成正比，也就是O（N^5）”

第二段：

long i, j, k;
long n = 1000;
long count = 0;
for (i = 1; i < n; i++)
    for (j = 1; j < i * i; j++)
        if (j % i == 0)
            for (k = 0; k < j; k++)
                count++;

<代码>长i、j、k； 长n=1000； 长计数=0； 对于（i=1；i 对于这一点，注释中说“if语句最多执行N3次，根据前面的参数，但它仅为O（N^2）次（因为对于每个i，它正好为i次）。因此，最里面的循环仅执行O（N^2）次。每次通过，它需要O（j^2）=O（N^2）次，总共O（N^4）”

对于这一点，注释对于N^4似乎足够准确（尽管我一直得到N^4/10的结果）。我不遵循模计算，只是每个I的I次为真，然而，它似乎很少进入这个循环

所以问题是谁能澄清我不理解的地方

对于第一个：

sum from i = 0 to n-1 of
    sum from j = 0 to i*i-1 of
        sum from k = 0 to j-1 of
            1

我们知道1

m

次之和等于

m

，因此我们可以将其减少到

sum from i = 0 to n-1 of
    sum from j = 0 to i*i-1 of
        j

我们知道和

1+2+…+m=m*（m+1）/2

，因此我们可以进一步减少：

sum from i = 1 to n-1 of
    (i * i - 1) * i * i / 2 = (1/2) * (i * i * i * i - i * i)

我们可以通过将

（1/2）

置于总和之外，然后将

i*i*i*i

和

i*i

项分开来简化这一过程；然而，与单独的

i

相比，求和更难，更不为人所知。它确实是θ（n^5），因此

O（n^5）

；至少要有一个直观的感觉来解释为什么会这样，要认识到差异

f（n+1）-f（n）=（1/2）（n^4-n^2）

的顺序是

n^4

，所以如果

f

是一个连续函数，而这个差异是导数，那么

f

的顺序会更高

对于第二种情况：

sum from i = 0 to n-1 of
    sum from j = 0 to i-1 of
        sum from k = 0 to i*j-1
            1

请注意，

j

现在只假定

i

不同的值，用于最内部的循环：

0，i，2i，…（i-1）i

。内部循环运行的迭代次数是

j

的计数器值的i倍。我们做乘法移位是为了避免引入“步”符号，这样我们就可以使用我们通常的数学结果

sum from i = 0 to n-1 of
    sum from j = 0 to i-1 of
        i*j

sum from i = 0 to n-1 of
    i * (1/2) * i * (i - 1) = (1/2)(i * i * i - i)

---

同样，我们可以作弊或者做数学运算，或者我们可以再次（正确地）利用我们的直觉推测这是

Theta（n^4）

“我一直得到

n^4/10

”的结果-大O忽略了乘法常数。你明白第一个吗，或者你也需要一个解释？回答得很好，谢谢。出于我自己的兴趣，你写答案的方式是，对于有助于这种推理的东西的输入？@Saf这是我刚刚（可能重新）发明的一种特殊符号，目的是在这个SE站点上没有MathJax/LaTeX支持的情况下，试图澄清推理。