Algorithm 面试算法

最近我被问到以下面试问题： 有两组长度相同的数字N，例如A=[3,5,9]和B=[7,5,1]。接下来，对于0..N-1范围内的每个位置i，您可以选择数字A[i]或B[i]，因此在最后，您将有另一个长度为N的数组C，该数组由A和B中的元素组成。如果C中所有元素的总和小于或等于K，则该数组是好的。请编写一个算法，根据给定的数组A、B和数字K计算出好数组的总数

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我提出的唯一解决方案是动态规划方法，当我们有一个大小为NxK的矩阵，M[I][j]表示如果当前和等于j，我们可以有多少个数字X[I]的组合。但看起来他们希望我能想出一个公式。你能帮我一下吗？至少我应该找什么方向？谢谢你的帮助。谢谢。

所以有2^N个选择，因为在每个点上，你要么从A中选择，要么从B中选择。在具体的例子中，你给出了其中N正好是3，有8个。为了便于讨论，您可以将每组决策描述为位模式

因此，作为一种蛮力方法，我们将尝试每一个位模式

但显而易见的是，如果前几位产生的数字太大，那么每个后续可能的尾位组也会产生一个太大的数字。因此，更好的建模方法可能是一棵树，在树上你不必费心沿着已经超出你极限的四肢行走

您还可以计算从每一位到表尾可以达到的最大总数。如果在任何一点上，你的跑步总量加上你从这里获得的最大值小于K，那么你所在的每一个子树都是可以接受的，而不需要遍历。正如评论中所讨论的，每种组合都是可接受的，这种情况是这种观察的一个特例

正如下面Serge所指出的，一个相关的观察结果是使用最小值，并使用逆向逻辑取消整个子树，而不进行遍历

一个潜在的进一步优化存在于这样一个观察结果背后：只要我们以相同的方式洗牌，改变A和B的顺序就没有效果，因为加法是可交换的。因此，您可以努力确保最大值尽可能快地增长或最小值尽可能慢地增长，以尝试尽早退出遍历。实际上，您可能希望应用一种启发式方法，将绝对最大值和最小值（您已经计算过这两个值）与K进行比较

在这种情况下，递归实现是最简单的，例如（在C中）

/*假设A、B和N是已知的全局变量*/
无符号整数OfGoodArraySFromBit(
无符号整数位，
unsigned int runningTotal，
无符号整数限制）
{
//我们是否陷入了一个不可接受的子树？
如果（runningTotal>limit）返回0；
//我们已经到达叶节点了吗
//发现此子树不可接受有什么意义？
如果（位>=N）返回1；
//也许每个子树都是可以接受的？
如果（runningTotal+MAXV[bit]=0；i--）
{
MAXV[i]+=MAXV[i+1]；
MINV[i]+=MINV[i+1]；
}
//开始
printf（“总有效组合为%u”，numberOfGoodArraysFromBit（0，0，K））；

我只是在即兴思考，可能存在更好的解决方案

“请写一个算法来计算出货物的总数 由给定数组A、B和数字K组成的数组。“

这不是目标吗

int A[];
int B[];
int N;
int K;
int Solutions = 0;

void FindSolutons(int Depth, int theSumSoFar) {
    if (theSumSoFar > K) return;
    if (Depth >= N) {
    Solutions++;
    return;
    }

    FindSolutions(Depth+1,theSumSoFar+A[Depth]);
    FindSolutions(Depth+1,theSumSoFar+B[Depth]);
}

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调用

FindSolutions

，将两个参数都设置为零。返回时

解决方案将等于良好数组的数量；
这就是我试图解决问题的方法
（如果这很愚蠢，我很抱歉）

想想数组

A=[3,5,9,8,2]
B=[7,5,1,8,2]


如果
元素
0..N-1

选择的数量

2^N

然后创建新的两个数组，如

A1=[3,5,9]
B1=[7,5,1]

现在C2是10

现在所有选项的数量减少到2^（N-C1）

现在计算所有好的数字

使用“K”作为K=K-C2

不幸的是
不管你用什么方法，你都有
经过一些考虑，要计算2^（N-C1）次之和，我认为这是一个NP完全问题。考虑：

A = [0, 0, 0, ..., 0]
B = [b1, b2, b3, ..., bn]

注意，第三个集合
C=（i=0..n的A[i]或B[i]）
的每一个构造都只是
A
的某个子集和
B
的某个子集的并集。在这种情况下，由于
A
的每一个子集和
0
，因此
C
的和与
B
的某个子集的和相同

现在你的问题“我们有多少种方法可以用小于
K
的和来构造
C
？”可以重述为“有多少
B
的子集和小于
K
？”。为
K=1
和
K=0解决这个问题可以得到
B
（两种解决方案之间的差异是总和为0的子集数）

通过类似的论证，即使在
A
包含非零元素的一般情况下，我们也可以构造一个数组
S=[b1-a1，b2-a2，b3-a3，…，bn-an]
，问题变成了“有多少
S
的子集和小于
K-sum（A）
？”

由于子集和问题是NP完全的，所以这个问题也必须是NP完全的。因此，考虑到这一点，我敢说，您提出的动态规划解决方案是您能做到的最好的，当然不存在神奇的公式。
我认为这不是一个很好的方法，在每个子集都很好的情况下，您将遍历整个树是的，我同意，如果我们首先计算一个max（a[I]，B[I]）数组的和，那么我们可以过滤掉这个唯一的情况。也许我们可以找到一种方法使它在最坏的情况下为O（2^（n-1））？在这种情况下，最好的优化是产生长度为n的C，C[I]=max（a[I]，B[I]）a
A1=[3,5,9]
B1=[7,5,1]

A = [0, 0, 0, ..., 0]
B = [b1, b2, b3, ..., bn]