Algorithm 求最大权析取区间子集

我正在寻找一个算法，我可以用来解决这个问题，而不是代码。我想知道如何使用线性规划和放松，但也许有更有效的方法来解决这个问题

问题

我有一套权重区间。间隔可以重叠。我需要找到析取区间子集的最大权和

示例

带权重的间隔：

|--3--| |---1-----| |----2--| |----5----|

---

回答：8

你可以把这个问题表述为一个一般的IP（整数规划）问题，用二进制变量表示是否选择了一个区间。然后，目标函数将是变量的加权线性组合。然后，您需要适当的约束来强制间隔之间的析取性…考虑到

家庭作业

标记，这就足够了

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此外，仅仅因为一个问题可以表述为一个整数规划（求解是NP难的），并不意味着问题类本身就是NP难的。因此，正如Ulrich指出的，可能有一种多项式可解的公式/算法，例如，将问题公式化/作为线性规划来解决。

如果没有权重，可以很容易地使用贪婪算法，通过按区间的结束时间对区间进行排序，并在每一步中获得可能的最小结束时间区间

但在你的例子中，我认为这是NPC（应该考虑一下），但你可以使用类似的贪婪算法，通过对每个区间的长度/长度进行赋值，每次都得到一个排序格式的可能区间，也可以使用模拟退火，这意味着每次你都会通过概率

p

（p接近于

1

）或选择另一个概率为1-

p

的区间。您可以在while循环中执行

n次，以找到一个好的答案。
这里有一个想法：

考虑下图：为每个间隔创建一个节点。如果间隔I1和间隔I2不重叠，且I1位于I2之前，请将一条有向边从节点I1添加到节点I2。请注意，此图是非循环的。每个节点的成本等于相应间隔的长度

现在，我们的想法是在这个图中找到最长的路径，可以在多项式时间内找到非循环图（例如，使用动态规划）。问题是成本在节点中，而不是在边上。这里有一个技巧：将每个节点v拆分为v'和v'。所有输入v的边现在都将输入v'，所有离开v的边现在都将离开v'。然后，使用节点的成本（在本例中为间隔的长度）添加一条从v'到v''的边。所有其他边的成本都将为0

好吧，如果我没有弄错的话，这个图中的最长路径将对应于具有最大和的不相交区间集。
我有一个精确的O（nlog n）DP算法。因为这是作业，这里有一个线索：

按照Saeed的建议，按右边缘位置对间隔进行排序，然后从1开始计算。仅使用不延伸到间隔i右边缘右侧的间隔，将f（i）定义为可达到的最高权重

编辑：线索2:按i的递增顺序计算每个f（i）。请记住，每个间隔要么存在，要么不存在。要计算“当前”案例的分数，您需要搜索“最右边的”与interval i兼容的interval，它需要对已计算的解决方案进行二进制搜索

这是一个大问题，我不确定我能不能在不完全解释的情况下给出更多的线索；）
这里解释了正确的解决方案（端到端）：
你是在寻找精确算法还是近似算法？LP松弛通常不会直接给出积分解，但可能会检查具有连续约束矩阵的公式：这样的矩阵自动完全是单模的，最优基本解将是积分的。我在《算法》一书中看到类似的内容，我不建议你买它，只是太懒了，找不到其他参考资料。那本书中的算法可能有所不同，但它可能会启发你。我欠这本书的，我会在家里研究它。我在寻找一个精确算法。你是说你更喜欢精确算法（可能需要指数时间，但当区间数很小时就可以了）而不是近似算法（即使有很多区间也可以，但答案可能不是最优的）？你有多少时间间隔？一点也不知道，我不知道测试用例。很好。但是你不能在线性时间内为DAG做最长路径吗？是的，我认为你可以在线性时间内，在图的大小（节点+边）上做。一个观察结果是：边的数量可以是O（n^2），其中n是间隔的数量。你可以使用回溯法获得精确解。你所说的“最右边”是什么意思。我不知道我的想法是否正确。f（i）是一个集合，具有区间数，它们具有最高的权重，并且是析取的？这个算法是在某本书中描述的还是你的想法？@Pawel：它可能在某个地方的书中，但我自己找到的。我所说的“最右边的，兼容的”是指其右边缘最大的间隔仍然在间隔I的左边缘的左边。很抱歉我不清楚：f（I）实际上不是一组非重叠区间本身，而是这样一组区间的权重。所以实际上我们只计算每个候选解的权重；实际上，在一个最优解中枚举区间需要像其他DP算法一样进行追溯。你现在能解释一下吗？我用另一种方法做了，但如果知道应该怎么做就好了。@Pawel：首先观察，如果a>b，那么f（a）>=f（b）——这是因为在最坏的情况下，我们总是可以为f（a）选择我们为f（b）选择的同一组间隔（并在r处留下一些“空间”）
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