Algorithm 重建二叉搜索树/四叉树/八叉树的时间复杂度？

假设我有一个有N个节点的二叉搜索树。或者四叉树，或者八叉树，如果它们有任何区别的话

然后让我们假设我运行一个算法来更改树中的所有键。移动东西似乎很复杂。也许有一个很好的算法可以实现这一点，但假设我采用简单的方法：迭代树，将键存储在列表中，然后通过重复的重新插入从头开始重建树。也就是说，完全重建

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这种重建的时间复杂度是多少？有

N

个节点，每次插入都需要

logn

时间，但我无法理解树增长时会发生什么。

假设您使用的是自平衡树，那么您已经回答了自己的问题，“有N个节点，每次插入都需要logn时间。”树是自平衡的，这一点很重要，因为它允许您声明每次插入都需要logn时间。对于非平衡树，插入时间在最坏情况下可能是线性的。

由于插入（平衡）BST需要

Θ（logn）

，并且树从

0

节点开始，然后是

1

节点，然后是

2

节点，等等，我们得到的运行时间为：

Θ(log 1 + log 2 + ... + log n)

从这里，我们可以直接说运行时间是

Θ（n log n）

因为：（）

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是的，一个二进制搜索树，就像我在上面写的（只是不想一直这么说…也许我应该用typedef…哈哈哈）

log 1 + log 2 + ... + log n <= log n + log n + ... + log n
                             = n log n

log 1 + ... + log n/2 + ... + log n >= log n/2 + ... + log n
                                    >= log n/2 + ... + log n/2
                                     = n/2 log (n/2)

Θ(1 + 2 + ... + n) = Θ(n(n+1)/2) = Θ(n²)