Algorithm 具有最小最大边权的路径

假设我们有一个有向非负加权图

我们必须找到（u，v）之间的最小成本路径。 路径的成本定义为路径包含的第二个最昂贵的边的最大成本

这里有一个例子

具有4个节点和4条边的图形：

• 从1到2，成本为3
• 从1到3，成本为7
• 从2到3，成本为5
• 从3到4，成本为2

1和4之间的最佳路径应为1-3-4，总成本为2（成本为2和7，第二高的成本为2）

Dijkstra标准SSSP（重建路径并找到第二高边）显然不起作用。

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我在MST考虑过（这应该可以），但它不能保证覆盖最佳路径（u，v）。

考虑二进制搜索以获得最佳成本。对所有边的权重进行排序，并搜索满足条件的最小值

X

：

There is a u -> v path which has at most one edge with weight greater than X.

如何检查状况？对于给定的

X

：

从

u

运行DFS，并使用最多

X

的权重边，查找可从

u

访问的顶点集

u

。如果

v

在

U

中，则满足条件

否则，从

V

中查找具有DFS的相应集合

V

当且仅当存在一条边，其中一个顶点在

U

中，另一个顶点在

V

中时，该条件才满足

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时间复杂度：

O（E log E）

您可以对答案进行二元搜索（按其前面的权重对边进行排序）。
对于固定答案c，让我们称重量大于c的边为重边，其他边为轻边。

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所以，您需要检查的是，是否存在最多1条重边的路径。您可以通过将0成本指定给轻边，将1成本指定给重边，并运行0-1 bfs来实现。如果距离我们可以得到O（E+vlogv），这对于足够密集的图是O（E loge）。使用Dijkstra和Fibonacci堆，计算两个最大权重（与第二个最大权重相反）最短路径树，一个从根u指向叶，一个指向根v。对于每个边s>t，考虑由u到s的最大权重最短路径、边s>t和从t到v的最大权重最短路径组成的路径，其中第二个最大权重取u-＞s和t-＞V段的最大值。试着自己解决它，然后如果你有问题回来寻求帮助。不是说你需要代码，但至少应该知道如何解决这个问题。如果路径中的边权重是5,5,4，会发生什么？费用是4英镑还是5英镑？另外，如果路径中只有一条边怎么办？很抱歉没有报告尝试。我添加了一些信息@genisage的成本分别为5和0。Dijkstra我猜你是指Prim？@tmyklebu I s'pose，但Prim在有向图上操作的想法似乎比Dijkstra使用不同的松弛公式更刺耳。我猜。不过，我并不认为这两者之间有什么区别。“DaVixIsStAT我认为你的答案更合适，因为它不涉及BSACHACH，但是我无法找到适当的松弛公式来得到最大权重SP（也就是说，最大重量SP树的含义对我来说不是100%）。”Dijkstra算法的工作原理是将顶点存储在优先级队列中，其中顶点的关键点是到达顶点的最便宜已知路径的成本。当计算节点的新成本时，我们所要做的就是用max（length（path）、length（edge））替换length（path）+length（edge），就像Prim的算法一样。（说Prim让我很烦恼，因为有更快的MST算法，但它们在有向图中不起作用。）它在如下图中不起作用：1->2按成本8 2->3按成本1 3->4按成本2 4->5按成本7 3->5按成本9。你的想法会导致答案是2，但正确的结果是7。@lucach你是对的。我已经编辑了我的答案。现在看来这是正确的。