Algorithm Ctrick位无法理解

这是spoj的一个问题 它说

魔术师洗牌一小包牌，将其正面朝下，然后执行以下步骤：

顶部的卡被移动到包的底部。新的顶牌面朝上发到桌上。这是黑桃的王牌

两张牌一次从上到下移动一张。下一张牌面朝上发到桌上。这是两个黑桃

三张牌一次移动一张

这种情况一直持续到第n张牌和最后一张牌变成黑桃的第n张

如果魔术师知道如何事先安排牌（并且知道如何进行假洗牌），这个令人印象深刻的把戏就会奏效。您的程序必须确定给定数量的卡的初始顺序，1≤ N≤ 20000.

输入

输入的第一行是一个正整数，指示要遵循的测试用例数。每个案例由一行组成，其中包含整数n。 输出

对于每个测试用例，输出一行值1到n的正确排列，空格分隔。显示包装顶部卡片的第一个数字，等等… 范例

输入： 二,

四,

五,

输出：

2 1 4 3

31452

现在我能想到的唯一解决方案是使用队列并模拟流程。 但那将是O（n^2）。我读了评论，他们建议使用位的段树。 我知道段树和位，但在这个问题上无法理解如何实现它们。请给出一些方法。

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Thanx

我不知道为什么这个问题应该与位树或段树联系起来，但我使用简单的“O（N^2）”模拟解决了这个问题

首先，此问题的时间限制为

11s

，并且

N==20000

。这表明

O（kN）

解决方案可能通过问题。我相信你认为这个

k

应该是

N

，因为简单的模拟需要这个，但不知何故它可以优化

让我们看看当N==5时如何构造序列：

Round 1, count 1 space starting from first space after last position:        _ 1 _ _ _
Round 2, count 2 spaces starting from first space after last position:       _ 1 _ _ 2
Round 3, count 3 spaces starting from first space after last position:       3 1 _ _ 2
Round 4, count 4 spaces starting from first space after last position:       3 1 4 _ 2
Round 5, count 5 spaces starting from first space after last position:       3 1 4 5 2

我们可以看到一个很好的模式：对于圆形

i

，我们应该从最后一个位置后的第一个空间开始计算

i

空间，并在必要时向后弯曲

然而，关键的一步是：经过几轮之后，剩下的空间将小于要计算的空间。在这种情况下，我们可以使用

mod

来节省时间

例如，在上一个示例的第4轮中，我们只剩下2个空格，但要计算4个空格。如果我们数到4，那是浪费时间计算4个步骤相当于从最后一个位置后的第一个空格开始计算4%2==0个空格。您可以自己验证这一点：）

因此，我们可以使用以下代码模拟此过程：

memset(ans, 255, sizeof(ans));
while (cur <= n)
{
    int i, cnt;
    int left = n - cur + 1; // count how many spaces left
    left = cur % left + 1; // this line is critical, mod to save time!

    for (i = pos, cnt = 0; ; ++i) // simulate the process
    {
        if (i > n) i = 1;
        if (ans[i] == -1) ++cnt;
        if (cnt == left) break;
    }

    ans[i] = cur;
    pos = i;

    ++cur;
}

memset（ans，255，sizeof（ans））；
而（curn）i=1；
如果（ans[i]=-1）++cnt；
如果（cnt==左）断开；
}
ans[i]=cur；
pos=i；
++cur；
}

如果您想使用Fenwick树（BIT）解决此问题，请仔细查看nevets发布的解决方案，尤其是这一部分（感谢nevets的绘图）：

使用上述方法寻找正确的自由空间的时间复杂度为O（N），因为我们必须遍历所有空间（总复杂度为O（N^2））。请注意，我们可以使用以下公式计算下一个位置：

free(next_pos) = (free(current_pos) + next_number) mod free(total) + 1

其中free（x）告诉我们一个位置上有多少个可用空间。这不是next_pos的直接公式，但它告诉我们需要满足什么，所以我们可以使用此信息对其进行二进制搜索

剩下要做的唯一一件事就是进行自由空间计算，这就是BIT发挥作用的地方，因为它为查询和更新提供了O（logn）的时间复杂度。现在，查找可用空间的时间复杂度为O（log^2 N），总时间复杂度为O（N log^2 N）

至于行驶速度：

• 3.16s用于建议的进近
• 1.18s使用队列旋转元素
• 使用链表旋转0.60秒
• 0.02s使用一个位

我必须说我对速度的提高感到非常惊讶：-）

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注意：如果您不确定如何使用该位，请通过将所有值更新为+1来初始化。将插槽标记为已占用时，只需将其更新为-1即可。

您尝试过该问题吗？你现在的判决是什么？

free(next_pos) = (free(current_pos) + next_number) mod free(total) + 1