Algorithm 以最少的移动次数将集合划分为k个组

您有一组n个对象，它们的整数位置是给定的。一组对象是位于同一位置的一组对象（不一定是该位置的所有对象：一个位置可能有多个组）。对象可以向左或向右移动，目标是移动这些对象以形成k组，并以移动的最小距离进行移动

例如：

• 初始位置为[4,4,7]，k=3时，最小成本为0
• [4,4,7]和k=2：最小成本为0
• [1,2,5,7]和k=2：最小成本为1+2=3

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我一直在尝试使用贪婪的方法（通过计算哪一步最短），但这不起作用，因为每一步都涉及两个元素，它们可以以任何方式移动。我还没有制定出动态规划方法，但我正在研究它。

据我所知，问题是：

我们在一条线上有n个点。 我们想把k位置放在这条线上。我称之为目的地。 将n个点中的每个点移动到k个目的地之一，使距离之和最小。我称之为总成本。 目的地可以重叠

一个明显的事实是，对于每个点，我们应该在左侧查找最近的目的地，在右侧查找最近的目的地，然后选择最近的目的地

另一个重要的事实是，所有目的地都应该在积分榜上。因为我们可以在直线上向右或向左移动它们，以到达一个点，而不增加总距离

根据这些事实，考虑DP解决方案：

DP[i][j]指第一个i点所需的最低总成本，此时我们只能使用j个目的地，并且必须在第i点上放置一个目的地

要计算DP[i][j]，请在第i个点之前固定目的地（我们有i个选项），并为每个选项（例如第k个点）计算第i个点和添加的新点（第k个点）之间的点所需距离。将其与DP[k][j-1]相加，找出所有k的最小值

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初始状态（如j=1）和最终答案的计算留作练习

任务0-按非降序排列对象的位置

让我们将

“中心”

定义为对象移动到的位置。

现在我们有两个观察结果

对于N个位置，“中心”将是最接近这些N个位置平均值的位置。

例如，设1,3,6,10为位置。那么平均值=5。最近的位置是6。因此，这些元素的中心是6。当所有元素都需要分组为一组时，这为我们提供了移动成本最低的位置

让N个位置“最优”分组为K组

当添加第N+1个对象时

，则只会干扰第K组，即前K-1组保持不变。

根据这些观察，我们构建了一种动态规划方法

Let Cost[i][k] and Center[i][k] be two 2D arrays. 
Cost[i][k] = minimum cost when first 'i' objects are partitioned into 'k' groups
Center[i][k] stores the center of the 'i-th' object when Cost[i][k] is computed.

设{L}为i-L，i-L+1，…i-1中具有相同中心的元素。

（中心[i-L][k]=中心[i-L+1][k]=…=中心[i-1][k]）

这些是计算第i个元素时需要考虑的唯一对象（来自观察2）

现在

computecost（）可以通过查找中心（从观察1）轻松找到

时间复杂性：

Sorting O(NlogN)
Total Cost Computation Matrix = Total elements * Computecost = O(NK * N)
Total = O(NlogN + N*NK) = O(N*NK)

让我们看看k=1

对于k=1和n奇数，所有点都应移动到中心点。对于k=1和n偶数，所有点都应移动到任一中心点或它们之间的任何点。“中心”是指两边的点数，即中间值

您可以看到这一点，因为如果您选择一个目标点x，其右侧的点比左侧的点多，那么x右侧的新目标1将导致成本降低（除非右侧比左侧多出一个点，且目标点是一个点，在这种情况下，n为偶数，且目标位于两个中心点上/之间）

如果你的点已经被排序，这是一个O（1）运算。如果没有，我相信这是O（n）（通过顺序统计算法）

一旦你找到了所有的点都要移动到的地方，你就可以找到成本了

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因此，无论点是否排序，这都是O（n）。

这个问题是的一维实例，可以这样说。给定一组点x_1…x_n，将这些点划分为k个集S_1…S_k，并选择k个位置y_1…y_k，以最小化所有x_i的和，其中y_f（i） 是x_i被分配到的集合的对应位置

由于中间值是，因此每个位置y_j将是相应集合S_j中元素x的中间值（因此称为k-中间值）.由于您正在查看整数值，因此有一个技术问题，即如果S_j包含偶数个元素，则中值可能不是整数，但在这种情况下，选择中值上方或下方的下一个整数将给出相同的绝对距离总和

解决k-中位数（以及相关的和更常见的问题）的标准启发式是迭代的，但这不能保证产生最优甚至好的解决方案。解决一般度量空间的k-中位数问题是NP难的，找到k-中位数的有效近似是一个开放的研究问题。谷歌搜索例如，“k-中值近似”将导致一系列给出近似方案的论文。

在一维中，事情变得更容易，您可以使用动态规划方法。中描述了相关一维k-means问题的DP解决方案，R中的源代码可用。有关详细信息，请参阅本文，但其思想与@SajalJain提出的基本相同，并且可以轻松地进行调整以解决k-medi问题ans p

Sorting O(NlogN)
Total Cost Computation Matrix = Total elements * Computecost = O(NK * N)
Total = O(NlogN + N*NK) = O(N*NK)

D(j,m) = min (D(j-1,q) + Cost(x_{q+1},...,x_m)

Cost(x_1,...,x_h) = Cost(x_2,...,x_h) + median(x_1...x_h)-x_1   if h is odd
Cost(x_1,...,x_h) = Cost(x_2,...,x_h) + median(x_2...x_h)-x_1   if h is even