Algorithm 检查有向图是否强连通的算法

我需要检查一个有向图是否是强连通的，或者换句话说，是否所有节点都可以被任何其他节点访问（不一定通过直连边）

一种方法是在每个节点上运行DFS和BFS，并查看所有其他节点是否仍然可以访问

有更好的方法吗？

强连接组件算法（或变体）当然就足够了；如果只有一个强连通分量，则该图是强连通的

两者都是线性时间

与普通的深度优先搜索一样，您可以跟踪每个节点的状态：新建、已查看但仍处于打开状态（在调用堆栈中）、已查看和已完成。此外，您还存储了第一次到达节点时的深度，以及从节点可以到达的最低深度（完成节点后您就会知道这一点）。如果最低可达深度等于节点自身的深度，则节点是强连接组件的根。即使从根节点到达节点的深度不是可能的最小值，这种方法仍然有效

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要仅检查整个图是否为单个SCC，请从任何单个节点启动dfs，完成后，如果最低可达深度为0，并且每个节点都已访问，然后整个图形是强连接的。

您可以计算，并查看是否有无限的。

一种方法是为图形生成特征值，然后计算特征值，最后计算零的数量。如果只有一个零特征值，则该图是强连通的

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注：注意为有向图创建拉普拉斯矩阵的方法稍有不同。

已经提到了Tarjan的算法。但我通常发现，即使它需要两次遍历图，也更容易理解。IIRC，在CLRS中也有很好的解释。

考虑以下算法

test-connected(G)
{
    choose a vertex x
    make a list L of vertices reachable from x,
    and another list K of vertices to be explored.
    initially, L = K = x.

    while K is nonempty
    find and remove some vertex y in K
    for each edge (y, z)
    if (z is not in L)
    add z to both L and K

    if L has fewer than n items
    return disconnected
    else return connected
}

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从图

G

的随机顶点

v

开始，运行

DFS（G，v）

• 如果

  DFS（G，v）

  未能到达图

  G

  中的每个其他顶点，则存在一些顶点

  u

  ，这样就没有从

  v

  到

  u

  的定向路径，因此

  G

  没有强连接

• 如果它确实到达每个顶点，则有一条从

  v

  到图形

  G

  中其他每个顶点的有向路径

反转有向图中所有边的方向

G

再次从

v

开始运行

DFS

• 如果DFS无法到达每个顶点，则存在一些顶点

  u

  ，因此在原始图形中没有从

  u

  到

  v

  的有向路径

• 另一方面，如果它确实到达每个顶点，那么在原始图中有一条从每个顶点

  u

  到

  v

  的有向路径

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因此，如果G“通过”两个DFS，则它是强连通的。此外，由于DFS在

O（n+m）

时间内运行，该算法在

O（2（n+m））=O（n+m）

时间内运行，因为它需要两次DFS遍历。

您可以使用Kosaraju基于DFS的简单算法，该算法对图形进行两次DFS遍历：

其思想是，如果每个节点都可以从顶点v到达，并且每个节点都可以到达v，那么图是强连通的。 在算法的第2步中，我们检查是否所有顶点都可以从v到达。在步骤4中，我们检查是否所有顶点都可以到达v（在反向图中，如果所有顶点都可以从v到达，则所有顶点都可以到达原始图中的v）

算法： 1） 将所有顶点初始化为未访问

2） 从任意顶点v开始对图进行DFS遍历。如果DFS遍历未访问所有顶点，则返回false

3） 反转所有圆弧（或找到图形的转置或反转）

4） 在反向图中将所有顶点标记为未访问

5） 从同一顶点v开始对反向图进行DFS遍历（与步骤2相同）。如果DFS遍历未访问所有顶点，则返回false。否则返回true

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时间复杂度：上述实现的时间复杂度与深度优先搜索相同，如果图形使用邻接列表表示法表示，则深度优先搜索为O（V+E）。

要检查每个节点是否与给定图形中的每个其他节点都有路径：

1.来自所有节点的DFS/BFS： 假设每个节点都有一个深度

d[i]

。最初，根的深度最小。我们对

i

的任何邻居

j

进行后期DFS更新

d[i]=min（d[j]）

。实际上，BFS也可以很好地使用这里的归约规则

d[i]=min（d[j]）

function dfs(i)
    d[i] = i
    mark i as visited
    for each neighbor j of i: 
        if j is not visited then dfs(j)
        d[i] = min(d[i], d[j])

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如果有一个从

u

到

v

的转发路径，那么

d[u]是可以的，但是这里肯定有更有效的方法。我相信普遍接受的名称是“有向图”，而不是“有向图”。很好！与Kosaraju查找强连接组件的算法非常相似。@Alip-两个查询：（1）我们可以使用
BFS（G，v）
而不是
DFS（G，v）
来查找您的算法吗？（2） 为了评估DFS是否从v到达每个顶点，我们是否可以对访问的顶点进行计数，然后比较if
c==| G.v |
？