Algorithm 圆分离距离-最近邻问题

在二维平面上有一组给定位置和半径的圆。我想确定每个圆是否与其他圆相交，以及分隔这两个圆所需的距离。在我当前的实现中，我只需要遍历所有可能的圆组合，然后进行计算。不幸的是，这个算法是O（n^2），速度很慢

这些圆通常是成组的，它们的半径相似（但不同）。圆圈数的近似最大值约为200。算法不一定要精确，但应该很接近

下面是我目前在JavaScript中的一个（缓慢）实现：

// Makes a new circle
var circle = function(x,y,radius) {
    return {
        x:x,
        y:y,
        radius:radius
    };
};

// These points are not representative of the true data set. I just made them up.
var points = [
    circle(3,3,2),
    circle(7,5,4),
    circle(16,6,4),
    circle(17,12,3),
    circle(26,20,1)
];


var k = 0,
    len = points.length;
for (var i = 0; i < len; i++) {
    for (var j = k; j < len; j++) {
        if (i !== j) {
            var c1 = points[i],
                c2 = points[j],
                radiiSum = c1.radius+c2.radius,
                deltaX = Math.abs(c1.x-c2.x);

            if (deltaX < radiiSum) {
                var deltaY = Math.abs(c1.y-c2.y);

                if (deltaY < radiiSum) {
                    var distance = Math.sqrt(deltaX*deltaX+deltaY*deltaY);

                    if (distance < radiiSum) {
                        var separation = radiiSum - distance;
                        console.log(c1,c2,separation);
                    }
                }
            }
        }
    }

    k++;
}

//创建一个新的循环
变量圆=函数（x，y，半径）{
返回{
x:x，
y:y，
半径：半径
};
};
//这些点不代表真实数据集。我只是编出来的。
变量点=[
圆圈（3,3,2），
圆圈（7,5,4），
圆圈（16,6,4），
圆圈（17,12,3），
圆圈（26,20,1）
];
var k=0，
len=点。长度；
对于（变量i=0；i

---

另外，如果您能用通俗易懂的英语解释一个好的算法（KD-Tree？），我将不胜感激：-/

对于初学者，如果您跳过SQRT调用，您上面的算法将大大加快。这是最著名的比较距离的简单优化。您还可以预先计算“平方半径”距离，这样就不会重复地重新计算它

此外，在您的一些算法中似乎还有很多其他的小错误。下面是我对如何修复它的看法

另外，如果您想摆脱O（N平方）算法，可以考虑使用一个。构建KD树需要前期成本，但搜索最近邻居的速度也会更快

function Distance_Squared(c1, c2) {

    var deltaX = (c1.x - c2.x);
    var deltaY = (c1.y - c2.y);
    return (deltaX * deltaX + deltaY * deltaY);
}



// returns false if it's possible that the circles intersect.  Returns true if the bounding box test proves there is no chance for intersection
function TrivialRejectIntersection(c1, c2) {
    return ((c1.left >= c2.right) || (c2.right <= c1.left) || (c1.top >= c2.bottom) || (c2.bottom <= c1.top));
}

    var circle = function(x,y,radius) {
        return {
            x:x,
            y:y,
            radius:radius,

            // some helper properties
            radius_squared : (radius*radius), // precompute the "squared distance"
            left : (x-radius),
            right: (x+radius),
            top : (y - radius),
            bottom : (y+radius)
        };
    };

    // These points are not representative of the true data set. I just made them up.
    var points = [
        circle(3,3,2),
        circle(7,5,4),
        circle(16,6,4),
        circle(17,12,3),
        circle(26,20,1)
    ];


    var k = 0;
    var len = points.length;
    var c1, c2;
    var distance_squared;
    var deltaX, deltaY;
    var min_distance;
    var seperation;

    for (var i = 0; i < len; i++) {
        for (var j = (i+1); j < len; j++) {
            c1 = points[i];
            c2 = points[j];

            // try for trivial rejections first. Jury is still out if this will help
            if (TrivialRejectIntesection(c1, c2)) {
                 continue;
            }



            //distance_squared is the actual distance between c1 and c2 'squared'
            distance_squared = Distance_Squared(c1, c2);

            // min_distance_squared is how much "squared distance" is required for these two circles to not intersect
            min_distance_squared = (c1.radius_squared + c2.radius_squared + (c1.radius*c2.radius*2)); // D**2 == deltaX*deltaX + deltaY*deltaY + 2*deltaX*deltaY

            // and so it follows
            if (distance_squared < min_distance_squared) {

                // intersection detected

                // now subtract actual distance from "min distance"
                seperation = c1.radius + c2.radius - Math.sqrt(distance_squared);
                Console.log(c1, c2, seperation);
            }
        }
    }

函数距离的平方（c1，c2）{
增值税=（c1.x-c2.x）；
变量deltaY=（c1.y-c2.y）；
报税表（德尔泰*德尔泰+德尔泰*德尔泰）；
}
//如果圆可能相交，则返回false。如果边界框测试证明没有相交机会，则返回true
函数求交（c1，c2）{
return（（c1.left>=c2.right）| |（c2.right=c2.bottom）| |（c2.bottom这篇文章已经休眠了很长一段时间，但我已经很好地遇到并解决了这个问题，所以我将发布文章，以便其他人不必做同样的挠头工作

可以将最近圆邻居问题视为kd树或八叉树中的3d点最近邻搜索。将两个圆a和B之间的距离定义为

D(A,B) =  sqrt( (xA - xB)^2 + (yA - yB)^2 ) - rA - rB

当圆圈重叠时，这是一个负数。在本次讨论中，我将假设一个八叉树，但k=3的kd树是类似的

在八叉树中为每个圆存储一个三元组（x，y，r）

要找到目标圆T的最近邻点，请使用标准算法：

def search(node, T, nst)
  if node is a leaf
    update nst with node's (x,y,r) nearest to T
  else
    for each cuboid C subdividing node (there are 8 of them)
       if C contains any point nearer to T than nst
          search(C, T, nst)
  end
end

这里的
nst
是到目前为止找到的距离T最近的圆的引用。最初它是空的

稍微棘手的部分是确定<代码>如果C包含比NST 更接近T的任何点。为此，考虑唯一点（x，y，r）是足够的。在C中，在x和y中最接近T的欧几里德曲线，并且具有长方体中包含的r范围的最大值。换句话说，长方体表示一组圆心在x和y的矩形区域上，半径范围为的圆。要检查的点是表示圆心最接近T和y的圆的点具有最大的半径
注意，T的半径在算法中根本不起作用。你只关心T的中心在任何其他圆的内部有多远。（我希望这在一开始就像现在一样明显…
看看这个答案可能值得研究。当然，这对实际的位置没有帮助。这也是一个“快速破解”是为了摆脱检查的
sqrt
，因为
sqrt（x）在此过程中进行了一些编辑。这可能是为了避免重复计算而进行的优化。还不错，但是如果两个圆之间的交点不是从左、右、上或下精确地相交会怎么样。如果交点发生在任何一个角点上，这将是无用的！！@似乎-我不知道圆有角点。谢谢！：/I没有我的意思是，如果相交发生在左上角、右上角、左下角或右下角，那就没用了。无论如何，谢谢你的回答：）