Algorithm 二叉树的主深度是O（sqrt（N））？

在C语言的第二版数据结构和算法分析中，关于二叉树，有一个描述，二叉树的平均深度是O（sqrt（n））。我试图证明这一点，但我不知道怎么做，有人能帮我吗？

这是二叉树的平均深度，不是平衡树，顺便说一句，最大深度与

logN

成比例。解释相关章节：

二叉树的一个重要特性是，平均二叉树的深度远小于

N

分析表明，平均深度为

O(√N） 

，对于一种特殊类型的二叉树，即二叉搜索树 深度的平均值为

O（logN）

。不幸的是，深度可能大到

n-1

要解决这个问题，您可以为某个值

N

生成所有可能的树，然后对这些深度进行平均。

顺便说一句，这是二叉树的平均深度，而不是平衡树，其中最大深度与

logN

成比例。解释相关章节：

二叉树的一个重要特性是，平均二叉树的深度远小于

N

分析表明，平均深度为

O(√N） 

，对于一种特殊类型的二叉树，即二叉搜索树 深度的平均值为

O（logN）

。不幸的是，深度可能大到

n-1

---

为了解决这个问题，你可以生成所有可能的树，用于某个值<代码> n>代码>，然后平均那些深度。

让我们考虑PrimeEffic二叉树（总是分裂元素为2）：

如果我删除间隙并向左对齐：

*
**
****
********

您可以看到，每个深度级别中的元素数量都会增加一倍（与上一个级别相比），因此：

或：

因此，如果你认为它（就像所有位都设置好的二进制数）是一样的：

n = 2^level -1

因此，从中提取级别：

n=2^级别-1//+1
n+1=2^级别//日志2
log2（n+1）=电平

其中，

n

是元素的数量，

level

是树的深度

对于不同的分割数，只有对数的底会改变。。。然而，对于通常的实树，分割不是规则的，您需要考虑每个元素的平均分割数

如果树的级别应与

O（sqrt（n））

成比例，则元素应形成正方形（

level^2=n

）或矩形，以便以图形方式推测：

******
******
******
******
******
******

@@@@@@
*@@@@@
**@@@@
***@@@
****@@
*****@

@
*@@
**@@@
***@@@@
****@@@@@
*****@@@@@@

*
***
*****
*******
*********
***********

          *
       *  *  *
     *  * * *  *
   *  * * * * *  *
 *  * * * * * * *  *
* * * * * * * * * * *

因此，除了第一个级别拆分为3之外，每个级别中的大多数元素都不是第一个和最后一个拆分为2。如果我选择一个矩形而不是正方形，那么矩形越宽，平均分割数就越多

          *
         * *
       *  *  *
     *  * * *  *
   *  * * * * *  *
 *  * * * * * * *  *
*   * * * * * * *   *

---

让我们考虑PROFECT二叉树（总是分裂元素为2）：

如果我删除间隙并向左对齐：

*
**
****
********

您可以看到，每个深度级别中的元素数量都会增加一倍（与上一个级别相比），因此：

或：

因此，如果你认为它（就像所有位都设置好的二进制数）是一样的：

n = 2^level -1

因此，从中提取级别：

n=2^级别-1//+1
n+1=2^级别//日志2
log2（n+1）=电平

其中，

n

是元素的数量，

level

是树的深度

对于不同的分割数，只有对数的底会改变。。。然而，对于通常的实树，分割不是规则的，您需要考虑每个元素的平均分割数

如果树的级别应与

O（sqrt（n））

成比例，则元素应形成正方形（

level^2=n

）或矩形，以便以图形方式推测：

******
******
******
******
******
******

@@@@@@
*@@@@@
**@@@@
***@@@
****@@
*****@

@
*@@
**@@@
***@@@@
****@@@@@
*****@@@@@@

*
***
*****
*******
*********
***********

          *
       *  *  *
     *  * * *  *
   *  * * * * *  *
 *  * * * * * * *  *
* * * * * * * * * * *

因此，除了第一个级别拆分为3之外，每个级别中的大多数元素都不是第一个和最后一个拆分为2。如果我选择一个矩形而不是正方形，那么矩形越宽，平均分割数就越多

          *
         * *
       *  *  *
     *  * * *  *
   *  * * * * *  *
 *  * * * * * * *  *
*   * * * * * * *   *

---

我理解为什么二叉搜索树的平均深度是o（logN），左右子树之间存在逻辑关系。但我认为二叉树的位置是完全随机的，也就是说，二叉树的深度可以大到n-1，同时也可以小到o（logN）.每种情况的概率相同，有n个！所以我需要把所有这些深度加起来，把总和除以n！。“我的理解有什么问题吗？”莉莉，这完全取决于你的二叉树是否有序。在一些用例中，排序并不重要，但不一定如此。你认为所有深度的可能性相等的论点可能不是真的。考虑一个三节点有序树。有几种深度为3的树（其中a在根上，b在a的右下，c在b的右下，（a在根上，c在a的右下，b在c的左下，（c在根上，b在c的左下，a在b的左下），但只有一种深度为2的树（b在根上，a在b的左下，c在b的右下）。我认为你的方法是正确的，你只需要决定“可能性空间”是什么包含用于分区的。与无序树相比，有序树的可能性更小。感谢您的帮助。我已经认识到一些案例可能具有相同的深度，因为深度的范围是[log（n），n-1]，并且有更多的基本案例。因此我的意思是，案例的可能性相同，但深度不同。而您的帮助使我意识到，总案例不是n！也许，我会更仔细地计算。非常感谢。我理解为什么二叉搜索树的平均深度是o（logN），并且左右子树之间存在逻辑关系。但在我看来，二叉树的位置是完全随机的，也就是说，二叉树的深度可以大到n-1，同时