Algorithm 贪婪事务最小化算法的最优性

最近我读到了一篇关于拆分问题的文章，其中一组人之间有债务，目标是用最少的交易数量来解决这些债务。它也可以被建模为一个有向加权图，边将被减少

我经常遇到的解决方案是，首先计算每个人的净结果（他欠的钱-他欠的钱），然后重复以下步骤：

1. take max. debtor X and max. creditor Y
2. if X owes more than Y is owed
     then X pays Y Y's value
          reduce X's debt by Y's value
          set Y's value to 0
     else X pays Y X's value
          reduce Y's value by X's debt
          set X's debt to 0

…直到每个人的值都为0

我的问题：

• 该算法在其产生的交易量方面真的是最优的吗？如果是，如何证明这一点
• 如果不是，该算法的最优性的反例是什么，即债务可以用少于其输出的交易最小化的情况

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看起来这个算法不是最优的。考虑案例[-3，-2，-2, 3, 4 ]，其中肯定表示债权人，而负数表示债务人。使用所描述的算法，我们需要四个事务操作来消除所有债务：

>> [-3, -2, -2, 3, 4]
>> [0, -2, -2, 3, 1]    ([0] pays [4])
>> [0, 0, -2, 1, 1]     ([1] pays [3])
>> [0, 0, -1, 1, 0]     ([2] pays [4])
>> [0, 0, 0, 0, 0]      ([2] pays [3])

但是你可以看到，债务可以通过三种交易来清偿：欠3美元的人支付贷记3美元的人，然后欠2美元的两个人分别支付欠4美元的人

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事实上，我相信所描述的算法的目标是最小化交易的总金额，而不是交易的数量，它做到了这一点，并且可以证明这一点（尽管我不会在这里尝试）。

谢谢。关于algo最小化的内容：对于我来说，它在事务数量方面不是最优的就足够了。