Algorithm 如何在没有代码的情况下计算时间复杂度

我必须证明（

^

正在崛起）：

n^2=O（2^n）

n^2=Θ（2^n）

8^n=O（4^n）

8^n=Ω（4^n）

是否有一种理论方法总是能够知道它是真的还是假的，并给出证明？

这些是极限计算问题：

f(n) = O(g(n))   if and only if      lim (f(n)/g(n)) = 0
                                       n -> +inf

f(n) = Θ(g(n))   if and only if      lim (f(n)/g(n)) = some positive finite number
                                       n -> +inf 

f(n) = Ω(g(n))   if and only if      lim (f(n)/g(n)) = +inifinity
                                       n -> +inf 

或者，把它倒过来

Let x = lim(f(n)/g(n))
          n -> +inf

x = 0 ?                          then f(n) = O(g(n))
x = some postive finite number ? then f(n) = Θ(g(n)) 
x = +infinity ?                  then f(n) = Ω(g(n))

因此，我们必须计算极限，例如，在第一种情况下：

 lim(n^2/2^n) = 0 (apply l'Hospital's rule twice)
   n -> +inf 

这就是为什么

n^2=O（2^n）

等等：

 n^2 = O(2^n)  - true
 n^2 = Θ(2^n)  - false, in fact O(2^n)
 8^n = O(4^n)  - false, in fact Ω(2^n) 
 8^n = Ω(4^n)  - true

你需要看看他们，并从他们那里学习

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让我们看一个。我们需要k和n0，以便

|n2|≤ n>n0时的k·2n

例如，在这种情况下，k=1和n0=3起作用。对于n=4，我们将有16个≤ 16，这很好。现在我们可以归纳推理了。假设它对n有效，看看它对n+1是否有效。我们会的

|（n+1）2|≤ k·2（n+1）

我们知道一切都是正的，所以我们可以去掉绝对值，我们可以这样操作：

n2+2·n+1≤ k·2（n+1）→ n2/2+n+1/2≤ k·2n

现在我们知道了k·2n≥ n2（诱导假说），因此它足以证明

n2/2+n+1/2≤ 氮气→ 1/2+1/n+1/（2·n2）≤ 一,

再进行一些操作，您将达到：

n2-2·n-1≥ 0→ （n-1）2-2≥ 0

对于n>n0=3，这一点非常正确

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现在让我们以3为例。这个是假的，8n≠ O（4n）。假设这个存在有效的k和n0值。那我等下，你应该

|8n0+i|≤ k·4n0+i

所以

k·4n0+i/| 8n0+i |≥ 一,

由于n0和i是肯定的，您可以重写为：

k·（4/8）n0+i≥ 一,

但很明显，对于i，不等式左侧的极限→ ∞ 为0，因此k和n0不能是有效值

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你应该能够对其余的进行类似的推理。对于2，θ涉及两个不等式，你要么证明两个不等式，要么反驳一个不等式；在这种情况下为假，2n不是n2的下限。对于4.，应沿着1的线。（这一点是正确的），但扭转了不平等的迹象